Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $$\red{\text{niveau difficile}}$$ - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n$$ , on a :
$$v_{n} =\left(n+1\right)u_{n}$$
$$v_{n+1} =\left(\left(n+1\right)+1\right)u_{n+1}$$
$$v_{n+1} =\left(n+2\right)\red{u_{n+1}}$$ . Or : $$\red{u_{n+1} =\left(\frac{n+1}{2n+4} \right)u_{n}}$$, il vient alors que :
$$v_{n+1} =\left(n+2\right)\times \left(\frac{n+1}{2n+4} \right)u_{n}$$
$$v_{n+1} =\left(n+2\right)\times \red{\left(\frac{n+1}{2\times \left(n+2\right)} \right)u_{n}}$$ . On peut maintenant simplifier par $$n+2$$ :
$$v_{n+1} =\left(\frac{n+1}{2} \right)u_{n}$$
$$v_{n+1} =\frac{1}{2} \times \left(n+1\right)u_{n}$$.
Or : $$v_{n} =\left(n+1\right)u_{n}$$, ce qui nous donne :

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=\frac{1}{2}$$ et de premier terme $$v_{0} =\left(0+1\right)\times u_{0}$$ donc $$v_{0} =1$$.