Limites de suites : lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation (quotient) - Exercice 3

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{\sqrt{n}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} }{2n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} \times 1}{n\left(\frac{2n+6}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} }{2n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} \times 1}{n\left(\frac{2n}{n} +\frac{6}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} }{2n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} \times 1}{n\left(2+\frac{6}{n} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$\sqrt{n}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} }{2n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1}{\sqrt{n} \left(2+\frac{6}{n} \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1 } & {=} & {1 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }\sqrt{n} \left(2+\frac{6}{n} \right) } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 12n+\sqrt{n}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n-5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{12n+\sqrt{n} }{n} \right)}{n\left(\frac{4n-5}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{12n}{n} +\frac{\sqrt{n} }{n} \right)}{n\left(\frac{4n}{n} -\frac{5}{{\color{blue}{n}}} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{12n}{n} +\frac{\sqrt{n} }{{\color{blue}{\sqrt{n} \times \sqrt{n}}} } \right)}{n\left(\frac{4n}{n} -\frac{5}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(12+\frac{1}{\sqrt{n} } \right)}{n\left(4-\frac{5}{n} \right)}$$ On simplifie par $$n$$ au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12+\frac{1}{\sqrt{n} } }{4-\frac{5}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 12+\frac{1}{\sqrt{n} } } & {=} & {12 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }4-\frac{5}{n} } & {=} & {4} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$