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Limites de suites : lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation (quotient) - Exercice 3

10 min
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Un peu plus difficile :)\red{\text{Un peu plus difficile :)}}. Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡n→+∞n2n+6\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\sqrt{n}}{2n+6}

Correction
lim⁡n→+∞n=+∞lim⁡n→+∞2n+6=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{\sqrt{n}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
lim⁡n→+∞n2n+6=lim⁡n→+∞n×1n(2n+6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} }{2n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} \times 1}{n\left(\frac{2n+6}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2n+6=lim⁡n→+∞n×1n(2nn+6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} }{2n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} \times 1}{n\left(\frac{2n}{n} +\frac{6}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2n+6=lim⁡n→+∞n×1n(2+6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} }{2n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} \times 1}{n\left(2+\frac{6}{n} \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par n\sqrt{n}
lim⁡n→+∞n2n+6=lim⁡n→+∞1n(2+6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sqrt{n} }{2n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1}{\sqrt{n} \left(2+\frac{6}{n} \right)}
lim⁡n→+∞1=1lim⁡n→+∞n(2+6n)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1 } & {=} & {1 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }\sqrt{n} \left(2+\frac{6}{n} \right) } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡n→+∞1n(2+6n)=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1}{\sqrt{n} \left(2+\frac{6}{n} \right)}=0

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n2n+6=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\sqrt{n}}{2n+6} =0

Question 2

lim⁡n→+∞12n+n4n−5\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{12n+\sqrt{n}}{4n-5}

Correction
lim⁡n→+∞12n+n=+∞lim⁡n→+∞4n−5=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 12n+\sqrt{n}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n-5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
lim⁡n→+∞12n+n4n−5=lim⁡n→+∞n(12n+nn)n(4n−5n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{12n+\sqrt{n} }{n} \right)}{n\left(\frac{4n-5}{n} \right)}
lim⁡n→+∞12n+n4n−5=lim⁡n→+∞n(12nn+nn)n(4nn−5n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{12n}{n} +\frac{\sqrt{n} }{n} \right)}{n\left(\frac{4n}{n} -\frac{5}{{\color{blue}{n}}} \right)}
lim⁡n→+∞12n+n4n−5=lim⁡n→+∞n(12nn+nn×n)n(4nn−5n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{12n}{n} +\frac{\sqrt{n} }{{\color{blue}{\sqrt{n} \times \sqrt{n}}} } \right)}{n\left(\frac{4n}{n} -\frac{5}{n} \right)}
lim⁡n→+∞12n+n4n−5=lim⁡n→+∞n(12+1n)n(4−5n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(12+\frac{1}{\sqrt{n} } \right)}{n\left(4-\frac{5}{n} \right)} On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞12n+n4n−5=lim⁡n→+∞12+1n4−5n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12n+\sqrt{n} }{4n-5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12+\frac{1}{\sqrt{n} } }{4-\frac{5}{n} }
lim⁡n→+∞12+1n=12lim⁡n→+∞4−5n=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 12+\frac{1}{\sqrt{n} } } & {=} & {12 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }4-\frac{5}{n} } & {=} & {4} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡n→+∞12+1n4−5n=124{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{12+\frac{1}{\sqrt{n} } }{4-\frac{5}{n} }=\frac{12}{4}

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞12n+n4n−5=3\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{12n+\sqrt{n}}{4n-5} =3

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