Limites de suites : lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation (quotient) - Exercice 2

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6n-2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3n+4} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6n-2}{3n+4} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{6n-2}{n} \right)}{n\left(\frac{3n+4}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6n-2}{3n+4} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{6n}{n} -\frac{2}{n} \right)}{n\left(\frac{3n}{n} +\frac{4}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6n-2}{3n+4} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(6-\frac{2}{n} \right)}{n\left(3+\frac{4}{n} \right)}$$ . On simplifie par $$n$$ au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6n-2}{3n+4} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6-\frac{2}{n} }{3+\frac{4}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6-\frac{2}{n} } & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3+\frac{4}{n} } & {=} & {3} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6-\frac{2}{n} }{3+\frac{4}{n} } =\frac{6}{3}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n-3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+n} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^{2}}$$
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-3}{n^{2} +n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{4n-3}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} +n}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-3}{n^{2} +n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{4n}{n} -\frac{3}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{n}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-3}{n^{2} +n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(4-\frac{3}{n} \right)}{n^{2} \left(1+\frac{1}{n} \right)}$$ On simplifie par $$n$$ au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-3}{n^{2} +n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4-\frac{3}{n} }{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\frac{3}{n} } & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(1+\frac{1}{n}\right) } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4-\frac{3}{n} }{n\left(1+\frac{1}{n} \right)} =0$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$