Limites de suites : lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 1
15 min
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Déterminer les limites des suites (un) suivantes :
Question 1
un=2n2−n+1
Correction
n→+∞lim2n2n→+∞lim−n+1==+∞−∞} par addition, nous avons une forme indéterminée. Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.Ici, en l’occurrence parn2. Il vient alors que : n→+∞lim2n2−n+1=n→+∞limn2(n22n2−n+1) n→+∞lim2n2−n+1=n→+∞limn2(n22n2−n2n+n21) n→+∞lim2n2−n+1=n→+∞limn2(2−n1+n21) n→+∞limn2n→+∞lim2−n1+n21==+∞2}par produit :n→+∞limn2(2−n1+n21)=+∞ Finalement :
n→+∞lim2n2−n+1=+∞
Question 2
un=−n2+5n−7
Correction
n→+∞lim−n2n→+∞lim5n+7==−∞+∞} par addition, nous avons une forme indéterminée. Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.Ici, en l’occurrence parn2. Il vient alors que : n→+∞lim−n2+5n−7=n→+∞limn2(n2−n2+5n−7) n→+∞lim−n2+5n−7=n→+∞limn2(n2−n2+n25n+n2−7) n→+∞lim−n2+5n−7=n→+∞limn2(−1+n5−n27) n→+∞limn2n→+∞lim−1+n5−n27==+∞−1}par produit :n→+∞limn2(−1+n5−n27)=−∞ Finalement :
n→+∞lim−n2+5n−7=−∞
Question 3
un=4n3−n2−5n+1
Correction
n→+∞lim4n3n→+∞lim−n2−5n+1==+∞−∞} par addition, nous avons une forme indéterminée. Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.Ici, en l’occurrence parn3. Il vient alors que : n→+∞lim4n3−n2−5n+1=n→+∞limn3(n34n3−n2−5n+1) n→+∞lim4n3−n2−5n+1=n→+∞limn3(n34n3−n3n2−n35n+n31) n→+∞lim4n3−n2−5n+1=n→+∞limn3(4−n1−n25+n31) n→+∞limn3n→+∞lim4−n1−n25+n31==+∞4}par produit :n→+∞limn3(4−n1−n25+n31)=+∞ Finalement :
n→+∞limn3−n2−5n+1=+∞
Question 4
un=−2n3+5n2+6
Correction
n→+∞lim−2n3n→+∞lim5n2+6==−∞+∞} par addition, nous avons une forme indéterminée. Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.Ici, en l’occurrence parn3. Il vient alors que : n→+∞lim−2n3+5n2+6=n→+∞limn3(n3−2n3+5n2+6) n→+∞lim−2n3+5n2+6=n→+∞limn3(n3−2n3+n35n2+n36) n→+∞lim−2n3+5n2+6=n→+∞limn3(−2+n5+n36) n→+∞limn3n→+∞lim−2+n5+n36==+∞−2}par produit :n→+∞limn3(−2+n5+n36)=−∞ Finalement :
n→+∞lim−2n3+5n2+6=−∞
Question 5
un=−n4+2n3+7n+1
Correction
n→+∞lim−n4n→+∞lim2n3+7n+1==−∞+∞} par addition, nous avons une forme indéterminée. Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.Ici, en l’occurrence parn4. Il vient alors que : n→+∞lim−n4+2n3+7n+1=n→+∞limn4(n4−n4+2n3+7n+1) n→+∞lim−n4+2n3+7n+1=n→+∞limn4(−n4n4+n42n3+n47n+n41) n→+∞lim−n4+2n3+7n+1=n→+∞limn4(−1+n2+n37+n41) n→+∞limn4n→+∞lim−1+n2+n37+n41==+∞−1}par produit :n→+∞limn4(−1+n2+n37+n41)=−∞ Finalement :
n→+∞lim−n4+2n3+7n+1=−∞
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