Suites et récurrence

Limites de suites : lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 1

15 min
25
Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=2n2−n+1u_{n} =2n^{2} -n+1

Correction
lim⁡n→+∞2n2=+∞lim⁡n→+∞−n+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -n+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par addition, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n2\blue{n^{2} }.
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞2n2−n+1=lim⁡n→+∞n2(2n2−n+1n2)\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{2n^{2} -n+1}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞2n2−n+1=lim⁡n→+∞n2(2n2n2−nn2+1n2)\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{2n^{2} }{n^{2} } -\frac{n}{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞2n2−n+1=lim⁡n→+∞n2(2−1n+1n2)\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(2-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞2−1n+1n2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } } & {=} & {2} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}lim⁡n→+∞n2(2−1n+1n2)=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(2-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } \right)=+\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞2n2−n+1=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=+\infty
Question 2

un=−n2+5n−7u_{n} =-n^{2} +5n-7

Correction
lim⁡n→+∞−n2=−∞lim⁡n→+∞5n+7=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5n+7} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par addition, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n2\blue{n^{2} }.
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞−n2+5n−7=lim⁡n→+∞n2(−n2+5n−7n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -n^{2} +5n-7={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-n^{2} +5n-7}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞−n2+5n−7=lim⁡n→+∞n2(−n2n2+5nn2+−7n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -n^{2} +5n-7={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-n^{2} }{n^{2} } +\frac{5n}{n^{2} } +\frac{-7}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞−n2+5n−7=lim⁡n→+∞n2(−1+5n−7n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -n^{2} +5n-7={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-1+\frac{5}{n} -\frac{7}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞−1+5n−7n2=−1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+\frac{5}{n} -\frac{7}{n^{2} } } & {=} & {-1} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}} lim⁡n→+∞n2(−1+5n−7n2)=−∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-1+\frac{5}{n} -\frac{7}{n^{2} } \right)= -\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞−n2+5n−7=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{2} +5n-7=-\infty
Question 3

un=4n3−n2−5n+1u_{n} =4n^{3} -n^{2}-5n+1

Correction
lim⁡n→+∞4n3=+∞lim⁡n→+∞−n2−5n+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{2}-5n+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par addition, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n3\blue{n^{3} }.
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞4n3−n2−5n+1=lim⁡n→+∞n3(4n3−n2−5n+1n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 4n^{3} -n^{2} -5n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{4n^{3} -n^{2} -5n+1}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞4n3−n2−5n+1=lim⁡n→+∞n3(4n3n3−n2n3−5nn3+1n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 4n^{3} -n^{2} -5n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{4n^{3} }{n^{3} } -\frac{n^{2} }{n^{3} } -\frac{5n}{n^{3} } +\frac{1}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞4n3−n2−5n+1=lim⁡n→+∞n3(4−1n−5n2+1n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 4n^{3} -n^{2} -5n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(4-\frac{1}{n} -\frac{5}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞n3=+∞lim⁡n→+∞4−1n−5n2+1n3=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\frac{1}{n} -\frac{5}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } } & {=} & {4} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}} lim⁡n→+∞n3(4−1n−5n2+1n3)=+∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(4-\frac{1}{n} -\frac{5}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)= +\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n3−n2−5n+1=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} -n^{2}-5n+1=+\infty
Question 4

un=−2n3+5n2+6u_{n} =-2n^{3} +5n^{2}+6

Correction
lim⁡n→+∞−2n3=−∞lim⁡n→+∞5n2+6=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2}+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par addition, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n3\blue{n^{3} }.
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞−2n3+5n2+6=lim⁡n→+∞n3(−2n3+5n2+6n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -2n^{3} +5n^{2} +6={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{-2n^{3} +5n^{2} +6}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞−2n3+5n2+6=lim⁡n→+∞n3(−2n3n3+5n2n3+6n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -2n^{3} +5n^{2} +6={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{-2n^{3} }{n^{3} } +\frac{5n^{2} }{n^{3} } +\frac{6}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞−2n3+5n2+6=lim⁡n→+∞n3(−2+5n+6n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -2n^{3} +5n^{2} +6={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-2+\frac{5}{n} +\frac{6}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞n3=+∞lim⁡n→+∞−2+5n+6n3=−2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2+\frac{5}{n} +\frac{6}{n^{3} } } & {=} & {-2} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}} lim⁡n→+∞n3(−2+5n+6n3)=−∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-2+\frac{5}{n} +\frac{6}{n^{3} } \right)= -\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞−2n3+5n2+6=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{3} +5n^{2}+6=-\infty
Question 5

un=−n4+2n3+7n+1u_{n} =-n^{4} +2n^{3}+7n+1

Correction
lim⁡n→+∞−n4=−∞lim⁡n→+∞2n3+7n+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{4} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{3}+7n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par addition, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n4\blue{n^{4} }.
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞−n4+2n3+7n+1=lim⁡n→+∞n4(−n4+2n3+7n+1n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -n^{4} +2n^{3} +7n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{4} \left(\frac{-n^{4} +2n^{3} +7n+1}{n^{4} } \right)
lim⁡n→+∞−n4+2n3+7n+1=lim⁡n→+∞n4(−n4n4+2n3n4+7nn4+1n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -n^{4} +2n^{3} +7n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{4} \left(-\frac{n^{4} }{n^{4} } +\frac{2n^{3} }{n^{4} } +\frac{7n}{n^{4} } +\frac{1}{n^{4} } \right)
lim⁡n→+∞−n4+2n3+7n+1=lim⁡n→+∞n4(−1+2n+7n3+1n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -n^{4} +2n^{3} +7n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{4} \left(-1+\frac{2}{n} +\frac{7}{n^{3} } +\frac{1}{n^{4} } \right)
lim⁡n→+∞n4=+∞lim⁡n→+∞−1+2n+7n3+1n4=−1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+\frac{2}{n} +\frac{7}{n^{3} } +\frac{1}{n^{4} } } & {=} & {-1} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}} lim⁡n→+∞n4(−1+2n+7n3+1n4)=−∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{4} \left(-1+\frac{2}{n} +\frac{7}{n^{3} } +\frac{1}{n^{4} } \right)= -\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞−n4+2n3+7n+1=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{4} +2n^{3}+7n+1=-\infty