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Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 3

6 min
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Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=2n+3nu_{n} =\frac{2n+3}{n}

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞2n+3n\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty }\frac{2n+3}{n}
lim⁡n→+∞2n+3=+∞lim⁡n→+∞n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n +3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe\text{\red{une forme indéterminée}} .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un)\left(u_{n}\right) .
Ainsi :
lim⁡n→+∞2n+3n=lim⁡n→+∞2nn+3n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n+3}{n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n}{n} +\frac{3}{n}
lim⁡n→+∞2n+3n=lim⁡n→+∞2+3n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n+3}{n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 2+\frac{3}{n}
lim⁡n→+∞2=2lim⁡n→+∞3n=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \dfrac{3}{n} } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
lim⁡n→+∞2+3n=2{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 2+\frac{3}{n} =2

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=2\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=2
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 2

un=4n+7n2u_{n} =\frac{4n+7}{n^{2}}

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞4n+7n2\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty }\frac{4n+7}{n^{2}}
lim⁡n→+∞4n+7=+∞lim⁡n→+∞n2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n+7} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe\text{\red{une forme indéterminée}} .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un)\left(u_{n}\right) .
Ainsi :
lim⁡n→+∞4n+7n2=lim⁡n→+∞4nn2+7n2{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n+7}{n^{2}} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n}{n^{2}} +\frac{7}{n^{2}}
lim⁡n→+∞4n+7n2=lim⁡n→+∞4n+7n2{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n+7}{n^{2}} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4}{n} +\frac{7}{n^{2}}
lim⁡n→+∞4n=0lim⁡n→+∞7n2=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \dfrac{4}{n}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \dfrac{7}{n^{2}} } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
lim⁡n→+∞4n+7n2=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4}{n} +\frac{7}{n^{2}} =0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.

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