Suites et récurrence

Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 2

10 min
20
Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=(42n)(34n)u_{n} =\left(4-\frac{2}{\sqrt{n} } \right)\left(3-\frac{4}{n} \right)

Correction
limn+42n=4limn+34n=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\frac{2}{\sqrt{n} }} & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-\frac{4}{n} } & {=} & {3} \end{array}\right\} par produit :\red{\text{par produit :}}
limn+(42n)(34n)=12\lim\limits_{n\to +\infty } \left(4-\frac{2}{\sqrt{n} } \right)\left(3-\frac{4}{n} \right) =12

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} limn+un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=12
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 2

un=(4n)(n+2n)u_{n} =\left(4-\sqrt{n} \right)\left(n+\frac{2}{n} \right)

Correction
limn+4n=limn+n+2n=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\sqrt{n}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+\frac{2}{n} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par produit :\red{\text{par produit :}}
limn+(4n)(n+2n)=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(4-\sqrt{n} \right)\left(n+\frac{2}{n} \right) =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} limn+un=\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 3

un=6n+nu_{n} =\frac{6}{n+\sqrt{n} }

Correction
limn+6=6limn+n+n=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6} & {=} & {6 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+\sqrt{n} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
limn+6n+n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6}{n+\sqrt{n} } =0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} limn+un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 4

un=53n2u_{n} =\frac{5}{3-n^{2} }

Correction
limn+5=5limn+3n2=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 5} & {=} & {5 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-n^{2} } & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
limn+53n2=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{3-n^{2} } =0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} limn+un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 5

un=106n5+3nu_{n} =\frac{10-\frac{6}{\sqrt{n} } }{5+\frac{3}{n} }

Correction
limn+106n=10limn+5+3n=5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 10-\frac{6}{\sqrt{n} }} & {=} & {10 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5+\frac{3}{n} } & {=} & {5} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
limn+106n5+3n=105\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{10-\frac{6}{\sqrt{n} } }{5+\frac{3}{n} } =\frac{10}{5}

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} limn+un=2\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=2
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 6

un=(75)n4n2u_{n} =\left(\frac{7}{5} \right)^{n} -\frac{4}{n^{2} }

Correction
  • Si 1<q<1-1<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 75>1\frac{7}{5} >1 alors :limn+(75)n=+\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{5} \right)^{n} =+\infty
Ainsi :
limn+(75)n=+limn+4n2=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{5} \right)^{n}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -\frac{4}{n^{2} } } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
limn+(75)n4n2=+\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{5} \right)^{n} -\frac{4}{n^{2} } =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} limn+un=+\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.