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Suites et récurrence
Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 2
10 min
20
Déterminer les limites des suites
(
u
n
)
(u_{n} )
(
u
n
)
suivantes :
Question 1
u
n
=
(
4
−
2
n
)
(
3
−
4
n
)
u_{n} =\left(4-\frac{2}{\sqrt{n} } \right)\left(3-\frac{4}{n} \right)
u
n
=
(
4
−
n
2
)
(
3
−
n
4
)
Correction
lim
n
→
+
∞
4
−
2
n
=
4
lim
n
→
+
∞
3
−
4
n
=
3
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\frac{2}{\sqrt{n} }} & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-\frac{4}{n} } & {=} & {3} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
4
−
n
2
n
→
+
∞
lim
3
−
n
4
=
=
4
3
}
par produit :
\red{\text{par produit :}}
par produit :
lim
n
→
+
∞
(
4
−
2
n
)
(
3
−
4
n
)
=
12
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(4-\frac{2}{\sqrt{n} } \right)\left(3-\frac{4}{n} \right) =12
n
→
+
∞
lim
(
4
−
n
2
)
(
3
−
n
4
)
=
12
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
12
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=12
n
→
+
∞
lim
u
n
=
12
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Question 2
u
n
=
(
4
−
n
)
(
n
+
2
n
)
u_{n} =\left(4-\sqrt{n} \right)\left(n+\frac{2}{n} \right)
u
n
=
(
4
−
n
)
(
n
+
n
2
)
Correction
lim
n
→
+
∞
4
−
n
=
−
∞
lim
n
→
+
∞
n
+
2
n
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\sqrt{n}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+\frac{2}{n} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
4
−
n
n
→
+
∞
lim
n
+
n
2
=
=
−
∞
+
∞
}
par produit :
\red{\text{par produit :}}
par produit :
lim
n
→
+
∞
(
4
−
n
)
(
n
+
2
n
)
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(4-\sqrt{n} \right)\left(n+\frac{2}{n} \right) =-\infty
n
→
+
∞
lim
(
4
−
n
)
(
n
+
n
2
)
=
−
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Question 3
u
n
=
6
n
+
n
u_{n} =\frac{6}{n+\sqrt{n} }
u
n
=
n
+
n
6
Correction
lim
n
→
+
∞
6
=
6
lim
n
→
+
∞
n
+
n
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6} & {=} & {6 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+\sqrt{n} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
6
n
→
+
∞
lim
n
+
n
=
=
6
+
∞
}
par quotient :
\red{\text{par quotient :}}
par quotient :
lim
n
→
+
∞
6
n
+
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6}{n+\sqrt{n} } =0
n
→
+
∞
lim
n
+
n
6
=
0
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Question 4
u
n
=
5
3
−
n
2
u_{n} =\frac{5}{3-n^{2} }
u
n
=
3
−
n
2
5
Correction
lim
n
→
+
∞
5
=
5
lim
n
→
+
∞
3
−
n
2
=
−
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 5} & {=} & {5 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-n^{2} } & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
5
n
→
+
∞
lim
3
−
n
2
=
=
5
−
∞
}
par quotient :
\red{\text{par quotient :}}
par quotient :
lim
n
→
+
∞
5
3
−
n
2
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{3-n^{2} } =0
n
→
+
∞
lim
3
−
n
2
5
=
0
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Question 5
u
n
=
10
−
6
n
5
+
3
n
u_{n} =\frac{10-\frac{6}{\sqrt{n} } }{5+\frac{3}{n} }
u
n
=
5
+
n
3
10
−
n
6
Correction
lim
n
→
+
∞
10
−
6
n
=
10
lim
n
→
+
∞
5
+
3
n
=
5
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 10-\frac{6}{\sqrt{n} }} & {=} & {10 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5+\frac{3}{n} } & {=} & {5} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
10
−
n
6
n
→
+
∞
lim
5
+
n
3
=
=
10
5
}
par quotient :
\red{\text{par quotient :}}
par quotient :
lim
n
→
+
∞
10
−
6
n
5
+
3
n
=
10
5
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{10-\frac{6}{\sqrt{n} } }{5+\frac{3}{n} } =\frac{10}{5}
n
→
+
∞
lim
5
+
n
3
10
−
n
6
=
5
10
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
2
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=2
n
→
+
∞
lim
u
n
=
2
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Question 6
u
n
=
(
7
5
)
n
−
4
n
2
u_{n} =\left(\frac{7}{5} \right)^{n} -\frac{4}{n^{2} }
u
n
=
(
5
7
)
n
−
n
2
4
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
7
5
>
1
\frac{7}{5} >1
5
7
>
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
7
5
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{5} \right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
5
7
)
n
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
(
7
5
)
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
−
4
n
2
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{5} \right)^{n}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -\frac{4}{n^{2} } } & {=} & {0} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
(
5
7
)
n
n
→
+
∞
lim
−
n
2
4
=
=
+
∞
0
}
par somme :
\red{\text{par somme :}}
par somme :
lim
n
→
+
∞
(
7
5
)
n
−
4
n
2
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{5} \right)^{n} -\frac{4}{n^{2} } =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
5
7
)
n
−
n
2
4
=
+
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.