Suites et récurrence
Limites de suites en utilisant les opérations
Exercice 1
Déterminer les limites des suites (un) suivantes :
1
un=2n2+n+1
Correction
n→+∞lim2n2n→+∞limn+1==+∞+∞} par somme :
Finalement : n→+∞limun=+∞
n→+∞lim2n2+n+1=+∞
Finalement : n→+∞limun=+∞
2
un=n2−6
Correction
n→+∞limn2n→+∞lim−6==+∞−6} par somme :
Finalement : n→+∞limun=+∞
n→+∞limn2−6=+∞
Finalement : n→+∞limun=+∞
3
un=−5n3+10
Correction
n→+∞lim−5n3n→+∞lim10==−∞10} par somme :
Finalement : n→+∞limun=−∞
n→+∞lim−5n3+10=−∞
Finalement : n→+∞limun=−∞
4
un=n+12
Correction
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
n→+∞lim2n→+∞limn+1==2+∞} par quotient : n→+∞limn+12=0
Finalement : n→+∞limun=0
5
un=2n2+n2+n21
Correction
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
n→+∞lim2n2n→+∞limn2n→+∞limn21===+∞00⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ par quotient : n→+∞lim2n2+n2+n21=+∞
Finalement : n→+∞limun=+∞
6
un=n+2+n1
Correction
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
n→+∞limun=n→+∞limn+2+n1n→+∞limn+2n→+∞limn1==+∞0} par somme :
n→+∞limn+2+n1=+∞
Finalement : n→+∞limun=+∞
7
un=n+1+2n−31
Correction
n→+∞limun=n→+∞limn+1+2n−31
n→+∞limn+1n→+∞lim2n−31==+∞0} par somme :
Finalement : n→+∞limun=+∞
n→+∞limn+1n→+∞lim2n−31==+∞0} par somme :
n→+∞limn+1+2n−31=+∞
Finalement : n→+∞limun=+∞
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
8
un=(3−7n)(2n2−5)
Correction
n→+∞lim3−7nn→+∞lim2n2−5==−∞+∞} par produit :
Finalement : n→+∞limun=−∞
n→+∞lim(3−7n)(2n2−5)=−∞
Finalement : n→+∞limun=−∞
Exercice 2
Déterminer les limites des suites (un) suivantes :
1
un=(4−n2)(3−n4)
Correction
n→+∞lim4−n2n→+∞lim3−n4==43} par produit :
Finalement : n→+∞limun=12
n→+∞lim(4−n2)(3−n4)=12
Finalement : n→+∞limun=12
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
2
un=(4−n)(n+n2)
Correction
n→+∞lim4−nn→+∞limn+n2==−∞+∞} par produit :
Finalement : n→+∞limun=−∞
n→+∞lim(4−n)(n+n2)=−∞
Finalement : n→+∞limun=−∞
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
3
un=n+n6
Correction
n→+∞lim6n→+∞limn+n==6+∞} par quotient :
Finalement : n→+∞limun=0
n→+∞limn+n6=0
Finalement : n→+∞limun=0
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
4
un=3−n25
Correction
n→+∞lim5n→+∞lim3−n2==5−∞} par quotient :
Finalement : n→+∞limun=0
n→+∞lim3−n25=0
Finalement : n→+∞limun=0
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
5
un=5+n310−n6
Correction
n→+∞lim10−n6n→+∞lim5+n3==105} par quotient :
Finalement : n→+∞limun=2
n→+∞lim5+n310−n6=510
Finalement : n→+∞limun=2
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
6
un=(57)n−n24
Correction
- Si −1<q<1 alors n→+∞limqn=0.
- Si q>1 alors n→+∞limqn=+∞.
Ainsi :
n→+∞lim(57)nn→+∞lim−n24==+∞0} par somme :
n→+∞lim(57)n−n24=+∞
Finalement : n→+∞limun=+∞
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
Exercice 3
Déterminer les limites des suites (un) suivantes :
1
un=n2n+3
Correction
n→+∞limun=n→+∞limn2n+3
n→+∞lim2n+3n→+∞limn==+∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
n→+∞limn2n+3=n→+∞limn2n+n3
n→+∞limn2n+3=n→+∞lim2+n3
n→+∞lim2n→+∞limn3==20} par somme :
Finalement : n→+∞limun=2
n→+∞lim2n+3n→+∞limn==+∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
n→+∞limn2n+3=n→+∞limn2n+n3
n→+∞limn2n+3=n→+∞lim2+n3
n→+∞lim2n→+∞limn3==20} par somme :
n→+∞lim2+n3=2
Finalement : n→+∞limun=2
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
2
un=n24n+7
Correction
n→+∞limun=n→+∞limn24n+7
n→+∞lim4n+7n→+∞limn2==+∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
n→+∞limn24n+7=n→+∞limn24n+n27
n→+∞limn24n+7=n→+∞limn4+n27
n→+∞limn4n→+∞limn27==00} par somme :
Finalement : n→+∞limun=0
n→+∞lim4n+7n→+∞limn2==+∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
n→+∞limn24n+7=n→+∞limn24n+n27
n→+∞limn24n+7=n→+∞limn4+n27
n→+∞limn4n→+∞limn27==00} par somme :
n→+∞limn4+n27=0
Finalement : n→+∞limun=0
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
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