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Suites et récurrence
Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 1
12 min
25
Déterminer les limites des suites
(
u
n
)
(u_{n} )
(
u
n
)
suivantes :
Question 1
u
n
=
2
n
2
+
n
+
1
u_{n} =2n^{2} +n+1
u
n
=
2
n
2
+
n
+
1
Correction
lim
n
→
+
∞
2
n
2
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
n
+
1
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
2
n
2
n
→
+
∞
lim
n
+
1
=
=
+
∞
+
∞
}
par somme :
\red{\text{par somme :}}
par somme :
lim
n
→
+
∞
2
n
2
+
n
+
1
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} +n+1=+\infty
n
→
+
∞
lim
2
n
2
+
n
+
1
=
+
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 2
u
n
=
n
2
−
6
u_{n} =n^{2}-6
u
n
=
n
2
−
6
Correction
lim
n
→
+
∞
n
2
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
−
6
=
−
6
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -6} & {=} & {-6} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
n
2
n
→
+
∞
lim
−
6
=
=
+
∞
−
6
}
par somme :
\red{\text{par somme :}}
par somme :
lim
n
→
+
∞
n
2
−
6
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}-6=+\infty
n
→
+
∞
lim
n
2
−
6
=
+
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 3
u
n
=
−
5
n
3
+
10
u_{n} =-5n^{3}+10
u
n
=
−
5
n
3
+
10
Correction
lim
n
→
+
∞
−
5
n
3
=
−
∞
lim
n
→
+
∞
10
=
10
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -5n^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 10} & {=} & {10} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
−
5
n
3
n
→
+
∞
lim
10
=
=
−
∞
10
}
par somme :
\red{\text{par somme :}}
par somme :
lim
n
→
+
∞
−
5
n
3
+
10
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } -5n^{3}+10=-\infty
n
→
+
∞
lim
−
5
n
3
+
10
=
−
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞
Question 4
u
n
=
2
n
+
1
u_{n} =\frac{2}{n+1}
u
n
=
n
+
1
2
Correction
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
lim
n
→
+
∞
2
=
2
lim
n
→
+
∞
n
+
1
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
2
n
→
+
∞
lim
n
+
1
=
=
2
+
∞
}
par quotient :
\red{\text{par quotient :}}
par quotient :
lim
n
→
+
∞
2
n
+
1
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n+1} =0
n
→
+
∞
lim
n
+
1
2
=
0
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Question 5
u
n
=
2
n
2
+
2
n
+
1
n
2
u_{n} =2n^{2} +\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}
u
n
=
2
n
2
+
n
2
+
n
2
1
Correction
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
lim
n
→
+
∞
2
n
2
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
2
n
=
0
lim
n
→
+
∞
1
n
2
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n^{2}}} & {=} & {0}\end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
2
n
2
n
→
+
∞
lim
n
2
n
→
+
∞
lim
n
2
1
=
=
=
+
∞
0
0
⎭
⎬
⎫
par quotient :
\red{\text{par quotient :}}
par quotient :
lim
n
→
+
∞
2
n
2
+
2
n
+
1
n
2
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} +\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}} = +\infty
n
→
+
∞
lim
2
n
2
+
n
2
+
n
2
1
=
+
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 6
u
n
=
n
+
2
+
1
n
u_{n} =n+2+\frac{1}{\sqrt{n} }
u
n
=
n
+
2
+
n
1
Correction
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
n
+
2
+
1
n
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n+2+\frac{1}{\sqrt{n} }
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
n
+
2
+
n
1
lim
n
→
+
∞
n
+
2
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
1
n
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+2 } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{n}}} & {=} & {0 } \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
n
+
2
n
→
+
∞
lim
n
1
=
=
+
∞
0
}
par somme :
\red{\text{par somme :}}
par somme :
lim
n
→
+
∞
n
+
2
+
1
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } n+2+\frac{1}{\sqrt{n}}=+\infty
n
→
+
∞
lim
n
+
2
+
n
1
=
+
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 7
u
n
=
n
+
1
+
1
2
n
−
3
u_{n} =n+1+\frac{1}{2n-3}
u
n
=
n
+
1
+
2
n
−
3
1
Correction
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
n
+
1
+
1
2
n
−
3
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n+1+\frac{1}{2n-3}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
n
+
1
+
2
n
−
3
1
lim
n
→
+
∞
n
+
1
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
1
2
n
−
3
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{2n-3} } & {=} & {0} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
n
+
1
n
→
+
∞
lim
2
n
−
3
1
=
=
+
∞
0
}
par somme :
\red{\text{par somme :}}
par somme :
lim
n
→
+
∞
n
+
1
+
1
2
n
−
3
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } n+1+\frac{1}{2n-3} =+\infty
n
→
+
∞
lim
n
+
1
+
2
n
−
3
1
=
+
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Question 8
u
n
=
(
3
−
7
n
)
(
2
n
2
−
5
)
u_{n} =\left(3-7n\right)\left(2n^{2} -5\right)
u
n
=
(
3
−
7
n
)
(
2
n
2
−
5
)
Correction
lim
n
→
+
∞
3
−
7
n
=
−
∞
lim
n
→
+
∞
2
n
2
−
5
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-7n} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -5 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
3
−
7
n
n
→
+
∞
lim
2
n
2
−
5
=
=
−
∞
+
∞
}
par produit :
\red{\text{par produit :}}
par produit :
lim
n
→
+
∞
(
3
−
7
n
)
(
2
n
2
−
5
)
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(3-7n\right)\left(2n^{2} -5\right) =-\infty
n
→
+
∞
lim
(
3
−
7
n
)
(
2
n
2
−
5
)
=
−
∞
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞