La récurrence - Exercice 9

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} =n^{2}$$
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =0$$ et que $$u_{0} =0^{2}$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k} =k^{2}$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+1} =\left(k+1\right)^{2}$$ .
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} =k^{2}$$ , on rajoute $$2k+1$$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$u_{k} +2k+1=k^{2} +2k+1$$
Ainsi : $$u_{k+1} =k^{2} +2k+1$$ . Or $$k^{2} +2k+1=\left(k+1\right)^{2}$$
D'où : $$u_{k+1} =\left(k+1\right)^{2}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :