Suites et récurrence

La récurrence - Exercice 8

12 min
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La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=0un+1=2un+1un+2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {0} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\frac{2u_{n} +1}{u_{n} +2}} \end{array}\right.
Question 1

Démontrer que pour tout entier naturel nn , on a : 0un10\le u_{n} \le 1

Correction
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:0un1P_{n} :0\le u_{n} \le 1
Etape d’initialisation\purple{\text{Etape d'initialisation}}
On sait que u0=0u_{0} =0 et que 0u010\le u_{0} \le 1 .
La propriété P0P_{0} est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊ\purple{\text{Etape d'hérédité}}
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire 0uk10\le u_{k} \le 1 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire 0uk+110\le u_{k+1} \le 1
Par hypothèse de récurrence :
D'une part uk0u_{k} \ge 0 donc 2uk+102u_{k} +1\ge 0 et uk+20u_{k} +2\ge 0 . Ainsi 2uk+1uk+20\frac{2u_{k} +1}{u_{k} +2} \ge 0 donc uk+10u_{k+1} \ge 0
D'autre part, calculons uk+11u_{k+1} -1 puis étudions le signe de uk+11u_{k+1} -1.
uk+11=2uk+1uk+21u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1}{u_{k} +2} -1 équivaut successivement à :
uk+11=2uk+1uk+2uk+2uk+2u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1}{u_{k} +2} -\frac{u_{k} +2}{u_{k} +2}
uk+11=2uk+1(uk+2)uk+2u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1-\left(u_{k} +2\right)}{u_{k} +2}
uk+11=2uk+1uk2uk+2u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1-u_{k} -2}{u_{k} +2}
uk+11=uk1uk+2u_{k+1} -1=\frac{u_{k} -1}{u_{k} +2} , or par hypothèse de récurrence, on a 0uk10\le u_{k} \le 1.
Donc uk+2>0u_{k} +2>0 et uk10u_{k} -1\le 0, donc uk1uk+20\frac{u_{k} -1}{u_{k} +2} \le 0. Finalement uk+110u_{k+1} -1\le 0 d'où uk+11u_{k+1} \le 1
On a montré que uk+10u_{k+1} \ge 0 et uk+11u_{k+1} \le 1, il vient alors que 0uk+110\le u_{k+1} \le 1
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion\purple{\text{Conclusion}}
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, on a bien :
0un10\le u_{n} \le 1