Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:0≤un≤1Etape d’initialisationOn sait que
u0=0 et que
0≤u0≤1 .
La propriété
P0 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
0≤uk≤1 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
0≤uk+1≤1Par hypothèse de récurrence :
D'une part
uk≥0 donc
2uk+1≥0 et
uk+2≥0 . Ainsi
uk+22uk+1≥0 donc
uk+1≥0D'autre part, calculons
uk+1−1 puis étudions le signe de
uk+1−1.
uk+1−1=uk+22uk+1−1 équivaut successivement à :
uk+1−1=uk+22uk+1−uk+2uk+2uk+1−1=uk+22uk+1−(uk+2)uk+1−1=uk+22uk+1−uk−2uk+1−1=uk+2uk−1 , or par hypothèse de récurrence, on a
0≤uk≤1.
Donc
uk+2>0 et
uk−1≤0, donc
uk+2uk−1≤0. Finalement
uk+1−1≤0 d'où
uk+1≤1On a montré que
uk+1≥0 et
uk+1≤1, il vient alors que
0≤uk+1≤1Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :
0≤un≤1