La récurrence - Exercice 7

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} : S_{n} =\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$$
Rappelons que $$S_{n} =1^{2} +2^{2} +3^{2} +4^{2} +\ldots +n^{2}$$
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
Pour $$n=1$$, on a $$S_{n} =1^{2} =1$$ et $$S_{1} =\frac{1\times \left(1+1\right)\left(2\times 1+1\right)}{6} =1$$ .
La propriété $$P_{1}$$ est vraie.
Pour $$n=2$$, on a $$S_{n} =1^{2} +2^{2} =5$$ et $$S_{2} =\frac{2\times \left(2+1\right)\left(2\times 2+1\right)}{6} =5$$ .
La propriété $$P_{2}$$ est vraie
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$S_{k} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2\left(k+1\right)+1\right)}{6}$$ autrement dit $$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}$$ .
Par hypothèse de récurrence :
$$S_{k} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}$$ , on rajoute $$\left(k+1\right)^{2}$$ de part et d'autre de l'égalité
$$S_{k} +\left(k+1\right)^{2} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6} +\left(k+1\right)^{2}$$ (apparaît maintenant dans le membre de gauche $$S_{k+1}$$)
$$S_{k+1} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6} +\left(k+1\right)^{2}$$ (on va mettre tout au même dénominateur dans le membre de droite)
$$S_{k+1} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6} +\frac{6\left(k+1\right)^{2} }{6}$$
$$S_{k+1} =\frac{k\left(\red{k+1}\right)\left(2k+1\right)+6\left(\red{k+1}\right)^{2} }{6}$$, on factorise maintenant par $$\red{k+1}$$. Il vient alors :
$$S_{k+1} =\frac{\left(\red{k+1}\right)\times \left[k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6}$$
$$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\times \left[2k^{2} +k+6k+6\right]}{6}$$
$$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\times \left[2k^{2} +7k+6\right]}{6}$$
Or on veut montrer que $$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}$$
On développe $$\left(k+2\right)\left(2k+3\right)$$ et on vérifie que ça donne également $$2k^{2} +7k+6$$ .
Il vient que $$\left(k+2\right)\left(2k+3\right)=2k^{2} +3k+4k+6$$ donc $$\left(k+2\right)\left(2k+3\right)=2k^{2} +7k+6$$
Comme $$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\times \left[2k^{2} +7k+6\right]}{6}$$ alors on a montré que $$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{1}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a bien :