La récurrence - Exercice 6

10 min
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Somme des nn premiers entiers.
Soit nn un entier naturel.
Soit Sn=∑k=0nkS_{n} =\sum _{k=0}^{n}k .
Question 1

Démontrer que pour tout entier naturel nn, on a Sn=n(n+1)2S_{n} =\frac{n\left(n+1\right)}{2}

Correction
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:Sn=n(n+1)2P_{n} : S_{n} =\frac{n\left(n+1\right)}{2}
Rappelons que Sn=0+1+2+3+4+…+nS_{n} =0+1+2+3+4+\ldots +n
Eˊtape d’initialisation\purple{\text{Étape d'initialisation}}
Pour n=0n=0, on a Sn=0S_{n} =0 et S0=0×(0+1)2=0S_{0} =\frac{0\times \left(0+1\right)}{2} =0 .
La propriété P0P_{0} est vraie.
Pour n=1n=1, on a Sn=0+1=1S_{n} =0+1=1 et S1=1×(1+1)2=1S_{1} =\frac{1\times \left(1+1\right)}{2} =1 .
La propriété P1P_{1} est vraie.
Pour n=2n=2, on a Sn=0+1+2=3S_{n} =0+1+2=3 et S2=2×(2+1)2=3S_{2} =\frac{2\times \left(2+1\right)}{2} =3 .
La propriété P2P_{2} est vraie.
Nous avons ici exceptionnellement détaillé les 33 premiers termes afin que vous puissiez mieux appréhender les calculs de cette somme.
Pour la récurrence, comme vous le savez pour l'étape d'initialisation, vous n'avez besoin que du cas n=0n=0
On sait que Sk=0+1+2+3+4+…+kS_{k} =0+1+2+3+4+\ldots +k donc Sk+1=0+1+2+3+4+…+k+(k+1)S_{k+1} =0+1+2+3+4+\ldots +k+\left(k+1\right)
Ainsi Sk+1=Sk+k+1S_{k+1} =S_{k} +k+1, nous allons avoir besoin de cette information pour la récurrence.
Eˊtape d’heˊreˊditeˊ\purple{\text{Étape d'hérédité}}
Supposons que PkP_{k} est vraie pour un kk fixé c'est-à-dire Sk=k(k+1)2S_{k} =\frac{k\left(k+1\right)}{2} . Montrons alors que Pk+1P_{k+1} est vraie c'est-à-dire Sk+1=(k+1)(k+2)2S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2} .
Par hypothèse de récurrence :
Sk=k(k+1)2S_{k} =\frac{k\left(k+1\right)}{2} , on rajoute k+1k+1 de part et d'autre de l'égalité
Sk+k+1=k(k+1)2+k+1S_{k} +k+1=\frac{k\left(k+1\right)}{2} +k+1 (apparaît maintenant dans le membre de gauche Sk+1S_{k+1} )
Sk+1=k(k+1)2+k+1S_{k+1} =\frac{k\left(k+1\right)}{2} +k+1 (on va mettre tout au même dénominateur dans le membre de droite )
Sk+1=k(k+1)2+2(k+1)2S_{k+1} =\frac{k\left(k+1\right)}{2} +\frac{2\left(k+1\right)}{2}
Sk+1=k(k+1)+2(k+1)2S_{k+1} =\frac{k\left(\red{k+1}\right)+2\left(\red{k+1}\right)}{2} , on factorise maintenant par k+1\red{k+1}. Il vient alors :
Sk+1=(k+1)(k+2)2S_{k+1} =\frac{\left(\red{k+1}\right)\left(k+2\right)}{2}
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion\purple{\text{Conclusion}}
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel nn, on a bien :
Sn=n(n+1)2S_{n} =\frac{n\left(n+1\right)}{2}

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