Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:Sn=2n(n+1)Rappelons que
Sn=0+1+2+3+4+…+nEtape d’initialisationPour
n=0, on a
Sn=0 et
Sn=20×(0+1)=0 .
La propriété
P0 est vraie.
Pour
n=1, on a
Sn=0+1=1 et
Sn=21×(1+1)=1 .
La propriété
P1 est vraie.
Pour
n=2, on a
Sn=0+1+2=3 et
Sn=22×(2+1)=3 .
La propriété
P2 est vraie.
Nous avons ici exceptionnellement détaillé les
3 premiers termes afin que vous puissiez mieux appréhender les calculs de cette somme.
Pour la récurrence, comme vous le savez pour l'étape d'initialisation, vous n'avez besoin que du cas
n=0On sait que
Sk=0+1+2+3+4+…+k donc
Sk+1=0+1+2+3+4+…+k+(k+1)Ainsi
Sk+1=Sk+k+1, nous allons avoir besoin de cette information pour la récurrence.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
Sk=2k(k+1) et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
Sk+1=2(k+1)(k+2)Par hypothèse de récurrence :
Sk=2k(k+1) , on rajoute
k+1 de part et d'autre de l'égalité
Sk+k+1=2k(k+1)+k+1 (apparait maintenant dans le membre de gauche
Sk+1)
Sk+1=2k(k+1)+k+1 (on va mettre tout au même dénominateur dans le membre de droite )
Sk+1=2k(k+1)+22(k+1)Sk+1=2k(k+1)+2(k+1) , on factorise maintenant par
k+1. Il vient alors :
Sk+1=2(k+1)(k+2)Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :
Sn=2n(n+1)