La récurrence - Exercice 4

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :\frac{3}{2}\le u_{n} \le 2$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =2$$ ainsi $$\frac{3}{2}\le u_{0} \le 2$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$\frac{3}{2}\le u_{k} \le 2$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$\frac{3}{2}\le u_{k+1} \le 2$$
Par hypothèse de récurrence :
$$\frac{3}{2}\le u_{k} \le 2$$ , on compose par la fonction inverse qui est décroissante sur $$\left[0,+\infty \right[$$, l'ordre n'est alors pas conservé. Il vient alors que :
$$\frac{1}{\left(\frac{3}{2} \right)} \ge \frac{1}{u_{k} } \ge \frac{1}{2}$$
$$\frac{2}{3} \ge \frac{1}{u_{k} } \ge \frac{1}{2}$$ ce qui s'écrit également comme :
$$\frac{1}{2} \le \frac{1}{u_{k} } \le \frac{2}{3}$$
$$\frac{1}{2}+1 \le \frac{1}{u_{k} }+1 \le \frac{2}{3}+1$$
$$\frac{3}{2} \le \frac{1}{u_{k} }+1 \le \frac{5}{3}$$
Il vient alors que :
$$\frac{3}{2} \le u_{k+1} \le \frac{5}{3}$$
0n peut alors écrire que : $$\frac{3}{2} \le u_{k+1} \le \frac{5}{3} \le 2$$
d'où : $$\frac{3}{2} \le u_{k+1} \le 2$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :