La récurrence - Exercice 3

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} =-96\times \left(0,92\right)^{n} +100$$
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =4$$ et que $$u_{0} =-96\times \left(0,92\right)^{0} +100=4$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k} =-96\times \left(0,92\right)^{k} +100$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+1} =-96\times \left(0,92\right)^{k+1} +100$$ .
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} =-96\times \left(0,92\right)^{k} +100$$ , on multiplie par $$0,92$$ de part et d'autre de l'égalité
$$0,92\times u_{k} =0,92\times \left(-96\times \left(0,92\right)^{k} +100\right)$$
$$0,92\times u_{k} =0,92\times \left(-96\right)\times \left(0,92\right)^{k} +0,92\times 100$$
$$0,92\times u_{k} =\left(-96\right)\times \left(0,92\right)^{k+1} +92$$ , on va maintenant ajouter $$8$$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$0,92\times u_{k} +8=\left(-96\right)\times \left(0,92\right)^{k+1} +92+8$$
$$u_{k+1} =\left(-96\right)\times \left(0,92\right)^{k+1} +100$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :