La récurrence - Exercice 3

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} =1+3^{n}$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =2$$ et que $$u_{0}=1+3^{0}=1+1=2$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} =1+3^{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} =1+3^{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} =1+3^{k}$$ , on multiplie par $$3$$ de part et d'autre de l'égalité
$$3\times u_{k} =3\times \left(1+3^{k}\right)$$
$$3\times u_{k} =3+3\times 3^{k}$$
$$3\times u_{k} =3+3^{1}\times 3^{k}$$
$$3\times u_{k} =3+3^{k+1}$$, on va maintenant additionner par $$-2$$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$3\times u_{k}-2 =3+3^{k+1} -2$$
$$u_{k+1} =1+3^{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :