Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un=−96×(0,92)n+100Etape d’initialisationOn sait que
u0=4 et que
u0=−96×(0,92)0+100=4 .
La propriété
P0 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk=−96×(0,92)k+100 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1=−96×(0,92)k+1+100Par hypothèse de récurrence :
uk=−96×(0,92)k+100 , on multiplie par
0,92 de part et d'autre de l'égalité
0,92×uk=0,92×(−96×(0,92)k+100)0,92×uk=0,92×(−96)×(0,92)k+0,92×1000,92×uk=(−96)×(0,92)k+1+92 , on va maintenant additionner par
8 de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche
uk+1)
0,92×uk+8=(−96)×(0,92)k+1+92+8uk+1=(−96)×(0,92)k+1+100Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :
un=−96×(0,92)n+100