La récurrence - Exercice 17

Pour tout entier naturel $$n$$ , posons la propriété $$P_{n} :u_n=3^{2 n+1}+2^{n+2}$$ est un multiple de $$7$$. Autrement dit, il existe un entier $$q$$ tel que $$u_n=7q$$ .
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On a :
$$u_0=3^{2\cdot 0+1}+2^{0+2}$$
$$u_0=3+2^2=7$$ et $$7=7\times1$$ .
Ainsi, $$u_0$$ est un multiple de $$7$$ .
La propriété $$\left(P_n\right)$$ est donc vraie pour $$n=0$$.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$u_k=3^{2k+1}+2^{k+2}$$ est un multiple de $$7$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+1}=3^{2\left(k+1\right)+1}+2^{k+1+2}$$ est un multiple de $$7$$. Autrement dit la propriété au rang $$k+1$$ s'écrierait $$u_{k+1}=3^{2k+3}+2^{k+3}$$ est un multiple de $$7$$ ou encore $$u_{k+1}=7q$$ .
Nous allons transformer l'expression de $$u_{k+1}$$.
$$u_{k+1}=3^{2k+3}+2^{k+3}$$
$$u_{k+1}=3^2\times3^{2k+1}+2^{k+3}$$
$$u_{k+1}=3^2\times3^{2k+1}+2^{k}\times2^3$$ . On rappelle que $$2^3=7+1$$ et $$3^2=7+2$$
$$u_{k+1}=\left(7+2\right)\times3^{2k+1}+2^{k}\times\left(7+1\right)$$
On développe :
$$u_{k+1}=7\times3^{2k+1}+2\times3^{2k+1}+2^{k}\times7+2^{k}$$
$$u_{k+1}=7\times3^{2k+1}+2^{k}\times7+2\times\blue{3^{2k+1}}+2^{k}$$
D'après l'hypothèse de récurrence : $$P_{k} :u_k=3^{2 k+1}+2^{k+2}$$ est un multiple de $$7$$. Autrement dit, il existe un entier $$q$$ tel que $$u_k=7q$$ .
On peut écrire alors que $$3^{2 k+1}+2^{k+2}=7q$$ et donc que $$\blue{3^{2 k+1}=7q-2^{k+2}}$$.
Il en résulte donc que :
$$u_{k+1}=7\times3^{2k+1}+2^{k}\times7+2\times\blue{3^{2k+1}}+2^{k}$$ va pouvoir s'écrire $$u_{k+1}=7\times3^{2k+1}+2^{k}\times7+2\times\blue{\left(7q-2^{k+2}\right)}+2^{k}$$
Ainsi après développement, on aura :
$$u_{k+1}=7\times3^{2k+1}+2^{k}\times7+2\times7q-2\times2^{k+2}+2^{k}$$
$$u_{k+1}=7\times3^{2k+1}+2^{k}\times7+2\times7q-2\times\pink{2^{k}}\times2^2+\pink{2^{k}}$$
$$u_{k+1}=7\times3^{2k+1}+2^{k}\times7+2\times7q-\pink{2^{k}}\times2^3+\pink{2^{k}}$$ . On factorise les deux derniers termes par $$\pink{2^{k}}$$
$$u_{k+1}=7\times3^{2k+1}+2^{k}\times7+2\times7q+\pink{2^{k}}\left(-2^3+1\right)$$
$$u_{k+1}=7\times3^{2k+1}+2^{k}\times7+2\times7q+\pink{2^{k}}\left(-7\right)$$
$$u_{k+1}=\blue{7}\times3^{2k+1}+2^{k}\times\blue{7}+2\times\blue{7}q-\blue{7}\times\pink{2^{k}}$$ . On remarque que tous les termes de $$u_{k+1}$$ sont des multiples de $$\blue{7}$$.
La propriété au rang $$k+1$$ est alors vraie.
La propriété $$\left(P_k\right)$$ est donc héréditaire.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$u_n=3^{2 n+1}+2^{n+2}$$ est un multiple de $$7$$