La récurrence - Exercice 15

Pour tout entier naturel $$n$$ où $$n\ge4$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n}\ge2^n$$ .
Dans cet exercice, il va falloir vérifier si la propriété fonctionne à partir du rang $$n=4$$ car d'après les hypothèses on souhaite démontrer la proposition pour tout entier naturel $$n$$ où $$n\ge4$$.
Il faut donc calculer $$u_{1}$$ ; $$u_{2}$$ ; $$u_{3}$$ et enfin $$u_{4}$$.

$$u_{1}={\left(u_{0}\right)^2}+1=0^2+1=1$$

$$u_{2}={\left(u_{1}\right)^2}+1=1^2+1=2$$

$$u_{3}={\left(u_{2}\right)^2}+1=2^2+1=5$$

$$u_{4}={\left(u_{3}\right)^2}+1=5^2+1=26$$

$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{4} =26$$ ainsi $$u_{4} \ge 2^4$$ car $$2^4=16$$ .
La propriété $$P_{4}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k\ge4$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k} \ge 2^k$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge 2^{k+1}$$ .
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \ge 2^k$$ , on compose par la fonction carrée les deux membres de l'inégalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$). La fonction carrée étant croissante sur $$\left[0,+\infty \right[$$, l'ordre est alors conservé. Il vient alors que :
$$\left(u_{k}\right)^2 \ge \left(2^k\right)^2$$
$$\left(u_{k}\right)^2 \ge 2^{k\times2}$$
$$\left(u_{k}\right)^2 \ge 2^{2k}$$
$$\left(u_{k}\right)^2 +1\ge 2^{2k}+1$$
Il vient alors que :
$$u_{k+1} \ge 2^{2k}+1$$
on rappelle que $$k\ge4$$ ainsi $$2k-\left(k+1\right)=k-1\ge 3$$ et donc $$2k\ge k+1$$.
Il en résulte donc que $$2^{2k}>2^{k+1}$$ et enfin $$2^{2k}+1 \ge 2^{k+1}+1$$
Il vient que :
$$u_{k+1} \ge 2^{2k}+1\ge 2^{k+1}+1\ge 2^{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{4}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n\ge4$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n\ge4$$, on a bien :