La récurrence - Exercice 13

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :3\le u_{n} \le 10$$
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =\frac{7}{2}$$ ainsi $$3\le u_{0} \le 10$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$3\le u_{k} \le 10$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$3\le u_{k+1} \le 10$$ .
Par hypothèse de récurrence :
$$3\le u_{k} \le 10$$ , on rajoute $$6$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$3+6\le u_{k}+6\le 10+6$$
$$9\le u_{k}+6 \le 16$$ on compose par la fonction racine carrée (notre objectif est de faire apparaître $$u_{k+1}$$). La fonction racine carrée étant croissante sur $$\left[0,+\infty \right[$$, l'ordre est alors conservé. Il vient alors que :
$$\sqrt{9} \le \sqrt{u_{k} +6} \le \sqrt{16}$$
Il vient alors que :
$$3\le u_{k+1} \le 4$$ et on peut alors écrire que : $$3\le u_{k+1} \le 4\le 10$$
d'où : $$3\le u_{k+1} \le 10$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :