Pour tout entier naturel
n où
n≥4, posons la propriété
Pn:un≥2n .
Dans cet exercice, il va falloir vérifier si la propriété fonctionne à partir du rang
n=4 car d'après les hypothèses on souhaite démontrer la proposition pour tout entier naturel
n où
n≥4.
Il faut donc calculer
u1 ;
u2 ;
u3 et enfin
u4.
u1=(u0)2+1=02+1=1u2=(u1)2+1=12+1=2u3=(u2)2+1=22+1=5u4=(u3)2+1=52+1=26Etape d’initialisationOn sait que
u4=26 ainsi
u4≥24 car
24=16 .
La propriété
P4 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k≥4 tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk≥2k et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1≥2k+1Par hypothèse de récurrence :
uk≥2k , on compose par la fonction carrée les deux membres de l'inégalité (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche
uk+1). La fonction carrée étant croissante sur
[0,+∞[, l'ordre est alors conservé. Il vient alors que :
(uk)2≥(2k)2Soit x un réel non nul.- (xa)b=xa×b
(uk)2≥2k×2(uk)2≥22k(uk)2+1≥22k+1 Il vient alors que :
uk+1≥22k+1 on rappelle que
k≥4 ainsi
2k≥8 et
k+1≥5. On peut donc affirmer que
2k≥k+1.
Il en résulte donc que
22k>2k+1 et enfin
22k+1≥2k+1+1Il vient que :
uk+1≥22k+1≥2k+1+1 Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P4 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n≥4, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n≥4, on a bien :