La récurrence - Exercice 12

Une suite $$u_{n}$$ est croissante si et seulement si : $$u_{n+1}-u_{n} \ge 0$$ autrement dit $$u_{n+1}\ge u_{n}$$.
Commençons, tout d’abord, par calculer $$u_{1}$$.
$$u_{0+1} =\left(u_{0} \right)^{2} +2$$ ou encore $$u_{1} =\left(u_{0} \right)^{2} +2=4^{2}+2=18$$ Ainsi : $$u_{1} =4^{2}+2=18$$
On remarque que $$u_{1}\ge u_{0}$$.
On conjecture que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n+1}\ge u_{n}$$
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On a vu précédemment que $$u_{1}\ge u_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge u_{k}$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+2} \ge u_{k+1}$$ .
Par hypothèse de récurrence,
$$u_{k+1} \ge u_{k}$$ , or $$f:x\mapsto x^{2} +2$$ est une fonction croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(u_{k+1} \right)\ge f\left(u_{k} \right)$$ . Comme $$f\left(x\right)=x^{2} +2$$ alors : $$f\left(u_{k} \right)=\left(u_{k} \right)^{2} +2=u_{k+1}$$ et $$f\left(u_{k+1} \right)=\left(u_{k+1} \right)^{2} +2=u_{k+2}$$ . Il vient alors que :
$$\left(u_{k+1} \right)^{2} +2\ge\left(u_{k} \right)^{2}+2$$. Ce qui nous donne maintenant :
$$u_{k+2} \ge u_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.