Une suite
un est croissante si et seulement :
un+1−un≥0 autrement dit
un+1≥un.
Commençons, tout d’abord, par calculer
u1.
u0+1=4×u0+6 ou encore
u1=4×2+6 Ainsi :
u1=14On remarque que
u1≥u0.
On conjecture que la suite
(un) est croissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un+1≥unEtape d’initialisationOn a vu précédemment que
u1≥u0.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire :
uk+1≥uk et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire :
uk+2≥uk+1Par hypothèse de récurrence,
uk+1≥uk4uk+1≥4uk 4uk+1+6≥4uk+6 D'où :
uk+2>uk+1Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, la suite
(un) est
croissante.