La récurrence - Exercice 12

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :3\le u_{n} \le 10$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =\frac{7}{2}$$ ainsi $$3\le u_{0} \le 10$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$3\le u_{k} \le 10$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$3\le u_{k+1} \le 10$$
Par hypothèse de récurrence :
$$3\le u_{k} \le 10$$ , on rajoute $$6$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$3+6\le u_{k}+6\le 10+6$$
$$9\le u_{k}+6 \le 16$$ on compose par la fonction racine carrée (notre objectif est de faire apparaître $$u_{k+1}$$). La fonction racine carrée étant croissante sur $$\left[0,+\infty \right[$$, l'ordre est alors conservé. Il vient alors que :
$$\sqrt{9} \le \sqrt{u_{k} +6} \le \sqrt{16}$$
Il vient alors que :
$$3\le u_{k+1} \le 4$$ et on peut alors écrire que : $$3\le u_{k+1} \le 4\le 10$$
d'où : $$3\le u_{k+1} \le 10$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :