La récurrence - Exercice 11

La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante si et seulement si $$u_{n+1} - u_{n} \ge0$$ . Autrement dit, si $$u_{n+1} \ge u_{n}$$ .
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n+1} \ge u_{n}$$ .
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =0$$ .
Calculons $$u_{1}$$ .
Or $$u_{1} =\sqrt{2+3u_{0} } =\sqrt{2}$$ , ainsi $$u_{1} \ge u_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge u_{k}$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+2} \ge u_{k+1}$$ .
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k+1} \ge u_{k}$$ équivaut successivement à :
$$3u_{k+1} \ge 3u_{k}$$
$$2+3u_{k+1} \ge 2+3u_{k}$$, on va composer par la fonction racine carrée qui est strictement croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$. L'ordre est ainsi donc conservé.
$$\sqrt{2+3u_{k+1} } \ge \sqrt{2+3u_{k} }$$, il vient alors que :
$$u_{k+2} \ge u_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n+1} \ge u_{n}$$ .
Autrement dit, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.