Une suite
un est croissante si et seulement :
un+1−un≥0 autrement dit
un+1≥un.
Commençons, tout d’abord, par calculer
u1.
u0+1=(u0)2+2 ou encore
u1=(u0)2+2=42+2=18 Ainsi :
u1=42+2=18On remarque que
u1≥u0.
On conjecture que la suite
(un) est croissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un+1≥unEtape d’initialisationOn a vu précédemment que
u1≥u0.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire :
uk+1>uk et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire :
uk+2>uk+1Par hypothèse de récurrence,
uk+1≥uk , or
f:x↦x2+2 une fonction croissante sur
[0;+∞[ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
f(uk+1)≥f(uk) . Comme
f(x)=x2+2 alors :
f(uk)=(uk)2+2=uk+1 et
f(uk+1)=(uk+1)2+2=uk+2 . Il vient alors que :
(uk+1)2+2≥(uk)2+2. Ce qui nous donne maintenant :
uk+2≥uk+1Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, la suite
(un) est
croissante.