Suites et récurrence

La récurrence - Exercice 10

12 min
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Soit f:xx2+2f:x\mapsto x^{2} +2 une fonction définie sur [0;+[\left[0;+\infty \right[. Pour tout entier naturel nn, on définit la suite (un)\left(u_{n} \right) par : {u0=4un+1=(un)2+2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {4} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\left(u_{n} \right)^{2} +2} \end{array}\right.
Question 1

Montrer, que pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.

Correction
Une suite unu_{n} est croissante si et seulement : un+1un0u_{n+1}-u_{n} \ge 0 autrement dit un+1unu_{n+1}\ge u_{n}.
Commençons, tout d’abord, par calculer u1u_{1} .
u0+1=(u0)2+2u_{0+1} =\left(u_{0} \right)^{2} +2 ou encore u1=(u0)2+2=42+2=18u_{1} =\left(u_{0} \right)^{2} +2=4^{2}+2=18 Ainsi : u1=42+2=18u_{1} =4^{2}+2=18
On remarque que u1u0u_{1}\ge u_{0} .
On conjecture que la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:un+1unP_{n} :u_{n+1}\ge u_{n}
Etape d’initialisation\purple{\text{Etape d'initialisation}}
On a vu précédemment que u1u0u_{1}\ge u_{0} .
La propriété P0P_{0} est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊ\purple{\text{Etape d'hérédité}}
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire : uk+1>uku_{k+1} >u_{k} et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire : uk+2>uk+1u_{k+2} >u_{k+1}
Par hypothèse de récurrence,
uk+1uku_{k+1} \ge u_{k} , or f:xx2+2f:x\mapsto x^{2} +2 une fonction croissante sur [0;+[\left[0;+\infty \right[ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
f(uk+1)f(uk)f\left(u_{k+1} \right)\ge f\left(u_{k} \right) . Comme f(x)=x2+2f\left(x\right)=x^{2} +2 alors : f(uk)=(uk)2+2=uk+1f\left(u_{k} \right)=\left(u_{k} \right)^{2} +2=u_{k+1} et f(uk+1)=(uk+1)2+2=uk+2f\left(u_{k+1} \right)=\left(u_{k+1} \right)^{2} +2=u_{k+2} . Il vient alors que :
(uk+1)2+2(uk)2+2\left(u_{k+1} \right)^{2} +2\ge\left(u_{k} \right)^{2}+2. Ce qui nous donne maintenant :
uk+2uk+1u_{k+2} \ge u_{k+1}
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion\purple{\text{Conclusion}}
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.