La récurrence - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n}\ge4000$$ .
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =10$$ $$000$$ ainsi $$u_{0} \ge4000$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k} \ge 4000$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge 4000$$ .
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \ge 4000$$ , on multiplie par $$0,95$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$0,95u_{k} \ge 4000\times0,95$$
$$0,95u_{k} \ge 3800$$
$$0,95u_{k} +200\ge 3800+200$$
$$0,95u_{k} +200\ge 4000$$
$$u_{k+1} \ge 4000$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :