La récurrence

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :u_{n} \le 2$ (c'est la traduction mathématique d'une suite majorée par $2$).
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
On sait que $u_{0} =\frac{1}{2}$ ainsi $u_{0} \le 2$.
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $u_{k} \le 2$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $u_{k+1} \le 2$
Par hypothèse de récurrence :
$u_{k} \le 2$ , on rajoute $2$ de part et d'autre de l'inégalité
$2+u_{k} \le 2+2$
$2+u_{k} \le 4$ on compose par la fonction racine carrée les deux membres de l'inégalité (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche $u_{k+1}$). La fonction racine carrée étant croissante sur $\left[0,+\infty \right[$, l'ordre est alors conservé. Il vient alors que :
$\sqrt{2+u_{k} } \le \sqrt{4}$
Il vient alors que :
$u_{k+1} \le 2$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien :

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :u_{n} =-96\times \left(0,92\right)^{n} +100$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
On sait que $u_{0} =4$ et que $u_{0} =-96\times \left(0,92\right)^{0} +100=4$ .
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $u_{k} =-96\times \left(0,92\right)^{k} +100$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $u_{k+1} =-96\times \left(0,92\right)^{k+1} +100$
Par hypothèse de récurrence :
$u_{k} =-96\times \left(0,92\right)^{k} +100$ , on multiplie par $0,92$ de part et d'autre de l'égalité
$0,92\times u_{k} =0,92\times \left(-96\times \left(0,92\right)^{k} +100\right)$
$0,92\times u_{k} =0,92\times \left(-96\right)\times \left(0,92\right)^{k} +0,92\times 100$
$0,92\times u_{k} =\left(-96\right)\times \left(0,92\right)^{k+1} +92$ , on va maintenant additionner par $8$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $u_{k+1}$)
$0,92\times u_{k} +8=\left(-96\right)\times \left(0,92\right)^{k+1} +92+8$
$u_{k+1} =\left(-96\right)\times \left(0,92\right)^{k+1} +100$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien :

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :u_{n} =1+3^{n}$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
On sait que $u_{0} =2$ et que $u_{0}=1+3^{0}=1+1=2$ .
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $u_{k} =1+3^{k}$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $u_{k+1} =1+3^{k+1}$
Par hypothèse de récurrence :
$u_{k} =1+3^{k}$ , on multiplie par $3$ de part et d'autre de l'égalité
$3\times u_{k} =3\times \left(1+3^{k}\right)$
$3\times u_{k} =3+3\times 3^{k}$
$3\times u_{k} =3+3^{k+1}$, on va maintenant additionner par $-2$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $u_{k+1}$)
$3\times u_{k}-2 =3+3^{k+1} -2$
$u_{k+1} =1+3^{k+1}$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien :

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :\frac{3}{2}\le u_{n} \le 2$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
On sait que $u_{0} =2$ ainsi $\frac{3}{2}\le u_{0} \le 2$.
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $\frac{3}{2}\le u_{k} \le 2$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $\frac{3}{2}\le u_{k+1} \le 2$
Par hypothèse de récurrence :
$\frac{3}{2}\le u_{k} \le 2$ , on compose par la fonction inverse qui est décroissante sur $\left[0,+\infty \right[$, l'ordre n'est alors pas conservé. Il vient alors que :
$\frac{1}{\left(\frac{3}{2} \right)} \ge \frac{1}{u_{k} } \ge \frac{1}{2}$
$\frac{2}{3} \ge \frac{1}{u_{k} } \ge \frac{1}{2}$ ce qui s'écrit également comme :
$\frac{1}{2} \le \frac{1}{u_{k} } \le \frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}+1 \le \frac{1}{u_{k} }+1 \le \frac{2}{3}+1$
$\frac{3}{2} \le \frac{1}{u_{k} }+1 \le \frac{5}{3}$
Il vient alors que :
$\frac{3}{2} \le u_{k+1} \le \frac{5}{3}$
0n peut alors écrire que : $\frac{3}{2} \le u_{k+1} \le \frac{5}{3} \le 2$
d'où : $\frac{3}{2} \le u_{k+1} \le 2$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien :

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} : S_{n} =\frac{n\left(n+1\right)}{2}$
Rappelons que $S_{n} =0+1+2+3+4+\ldots +n$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
Pour $n=0$, on a $S_{n} =0$ et $S_{n} =\frac{0\times \left(0+1\right)}{2} =0$ .
La propriété $P_{0}$ est vraie.
Pour $n=1$, on a $S_{n} =0+1=1$ et $S_{n} =\frac{1\times \left(1+1\right)}{2} =1$ .
La propriété $P_{1}$ est vraie.
Pour $n=2$, on a $S_{n} =0+1+2=3$ et $S_{n} =\frac{2\times \left(2+1\right)}{2} =3$ .
La propriété $P_{2}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $S_{k} =\frac{k\left(k+1\right)}{2}$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}$
Par hypothèse de récurrence :
$S_{k} =\frac{k\left(k+1\right)}{2}$ , on rajoute $k+1$ de part et d'autre de l'égalité
$S_{k} +k+1=\frac{k\left(k+1\right)}{2} +k+1$ (apparait maintenant dans le membre de gauche $S_{k+1}$)
$S_{k+1} =\frac{k\left(k+1\right)}{2} +k+1$ (on va mettre tout au même dénominateur dans le membre de droite )
$S_{k+1} =\frac{k\left(k+1\right)}{2} +\frac{2\left(k+1\right)}{2}$
$S_{k+1} =\frac{k\left(\red{k+1}\right)+2\left(\red{k+1}\right)}{2}$ , on factorise maintenant par $\red{k+1}$. Il vient alors :
$S_{k+1} =\frac{\left(\red{k+1}\right)\left(k+2\right)}{2}$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien :

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} : S_{n} =\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$
Rappelons que $S_{n} =1^{2} +2^{2} +3^{2} +4^{2} +\ldots +n^{2}$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
Pour $n=1$, on a $S_{n} =1^{2} =1$ et $S_{n} =\frac{1\times \left(1+1\right)\left(2\times 1+1\right)}{6} =1$ .
La propriété $P_{1}$ est vraie.
Pour $n=2$, on a $S_{n} =1^{2} +2^{2} =5$ et $S_{n} =\frac{2\times \left(2+1\right)\left(2\times 2+1\right)}{6} =5$ .
La propriété $P_{2}$ est vraie
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $S_{k} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2\left(k+1\right)+1\right)}{6}$ autrement dit $S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}$
Par hypothèse de récurrence :
$S_{k} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}$ , on rajoute $\left(k+1\right)^{2}$ de part et d'autre de l'égalité
$S_{k} +\left(k+1\right)^{2} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6} +\left(k+1\right)^{2}$ (apparait maintenant dans le membre de gauche $S_{k+1}$)
$S_{k+1} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6} +\left(k+1\right)^{2}$ (on va mettre tout au même dénominateur dans le membre de droite)
$S_{k+1} =\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6} +\frac{6\left(k+1\right)^{2} }{6}$
$S_{k+1} =\frac{k\left(\red{k+1}\right)\left(2k+1\right)+6\left(\red{k+1}\right)^{2} }{6}$, on factorise maintenant par $\red{k+1}$. Il vient alors :
$S_{k+1} =\frac{\left(\red{k+1}\right)\times \left[k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6}$
$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\times \left[2k^{2} +k+6k+6\right]}{6}$
$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\times \left[2k^{2} +7k+6\right]}{6}$
Or on veut montrer que $S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}$
On développe $\left(k+2\right)\left(2k+3\right)$ et on vérifie que ça donne également $2k^{2} +7k+6$ .
Il vient que $\left(k+2\right)\left(2k+3\right)=2k^{2} +3k+4k+6$ donc $\left(k+2\right)\left(2k+3\right)=2k^{2} +7k+6$
Comme $S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\times \left[2k^{2} +7k+6\right]}{6}$ alors on a montré que $S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{1}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a bien :

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :u_{n} =n^{2}$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
On sait que $u_{0} =0$ et que $u_{0} =0^{2}$ .
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $u_{k} =k^{2}$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $u_{k+1} =\left(k+1\right)^{2}$
Par hypothèse de récurrence :
$u_{k} =k^{2}$ , on rajoute $2k+1$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $u_{k+1}$)
$u_{k} +2k+1=k^{2} +2k+1$
Ainsi : $u_{k+1} =k^{2} +2k+1$ . Or $k^{2} +2k+1=\left(k+1\right)^{2}$
D'où : $u_{k+1} =\left(k+1\right)^{2}$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien :

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :0\le u_{n} \le 1$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
On sait que $u_{0} =0$ et que $0\le u_{0} \le 1$ .
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $0\le u_{k} \le 1$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $0\le u_{k+1} \le 1$
Par hypothèse de récurrence :
D'une part $u_{k} \ge 0$ donc $2u_{k} +1\ge 0$ et $u_{k} +2\ge 0$ . Ainsi $\frac{2u_{k} +1}{u_{k} +2} \ge 0$ donc $u_{k+1} \ge 0$
D'autre part, calculons $u_{k+1} -1$ puis étudions le signe de $u_{k+1} -1$.
$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1}{u_{k} +2} -1$ équivaut successivement à :
$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1}{u_{k} +2} -\frac{u_{k} +2}{u_{k} +2}$
$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1-\left(u_{k} +2\right)}{u_{k} +2}$
$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1-u_{k} -2}{u_{k} +2}$
$u_{k+1} -1=\frac{u_{k} -1}{u_{k} +2}$ , or par hypothèse de récurrence, on a $0\le u_{k} \le 1$.
Donc $u_{k} +2>0$ et $u_{k} -1\le 0$, donc $\frac{u_{k} -1}{u_{k} +2} \le 0$. Finalement $u_{k+1} -1\le 0$ d'où $u_{k+1} \le 1$
On a montré que $u_{k+1} \ge 0$ et $u_{k+1} \le 1$, il vient alors que $0\le u_{k+1} \le 1$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien :

La suite $\left(u_{n} \right)$ est croissante si et seulement si $u_{n+1} - u_{n} \ge0$ . Autrement dit, si $u_{n+1} \ge u_{n}$ .
Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :u_{n+1} \ge u_{n}$ .
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
On sait que $u_{0} =0$ .
Calculons $u_{1}$ .
Or $u_{1} =\sqrt{2+3u_{0} } =\sqrt{2}$ , ainsi $u_{1} \ge u_{0}$.
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $u_{k+1} \ge u_{k}$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $u_{k+2} \ge u_{k+1}$
Par hypothèse de récurrence :
$u_{k+1} \ge u_{k}$ équivaut successivement à :
$3u_{k+1} \ge 3u_{k}$
$2+3u_{k+1} \ge 2+3u_{k}$, on va composer par la fonction racine carrée qui est strictement croissante sur $\left[0;+\infty \right[$. L'ordre est ainsi donc conservé.
$\sqrt{2+3u_{k+1} } \ge \sqrt{2+3u_{k} }$, il vient alors que :
$u_{k+2} \ge u_{k+1}$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien $u_{n+1} \ge u_{n}$ .
Autrement dit, la suite $\left(u_{n} \right)$ est croissante.

Une suite $u_{n}$ est croissante si et seulement : $u_{n+1}-u_{n}>0$ autrement dit $u_{n+1}>u_{n}$.
Commençons, tout d’abord, par calculer $u_{1}$.
$u_{0+1} =\left(u_{0} \right)^{2} +2$ ou encore $u_{1} =\left(u_{0} \right)^{2} +2=4^{2}+2=18$ Ainsi : $u_{1} =4^{2}+2=18$
On remarque que $u_{1}> u_{0}$.
On conjecture que la suite $\left(u_{n} \right)$ est croissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :u_{n+1}>u_{n}$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
On a vu précédemment que $u_{1}>u_{0}$.
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire : $u_{k+1} >u_{k}$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire : $u_{k+2} >u_{k+1}$
Par hypothèse de récurrence,
$u_{k+1} >u_{k}$ , or $f:x\mapsto x^{2} +2$ une fonction croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
$f\left(u_{k+1} \right)> f\left(u_{k} \right)$ . Comme $f\left(x\right)=x^{2} +2$ alors : $f\left(u_{k} \right)=\left(u_{k} \right)^{2} +2=u_{k+1}$ et $f\left(u_{k+1} \right)=\left(u_{k+1} \right)^{2} +2=u_{k+2}$ . Il vient alors que :
$\left(u_{k+1} \right)^{2} +2>\left(u_{k} \right)^{2}+2$. Ce qui nous donne maintenant :
$u_{k+2} >u_{k+1}$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(u_{n} \right)$ est croissante.

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :3\le u_{n} \le 10$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
On sait que $u_{0} =\frac{7}{2}$ ainsi $3\le u_{0} \le 10$.
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire $3\le u_{k} \le 10$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire $3\le u_{k+1} \le 10$
Par hypothèse de récurrence :
$3\le u_{k} \le 10$ , on rajoute 6 de part et d'autre de l'inégalité
$3+6\le u_{k}+6\le 10+6$
$9\le u_{k}+6 \le 16$ on compose par la fonction racine carrée (notre objectif est de faire apparaître $u_{k+1}$). La fonction racine carrée étant croissante sur $\left[0,+\infty \right[$, l'ordre est alors conservé. Il vient alors que :
$\sqrt{9} \le \sqrt{u_{k} +6} \le \sqrt{16}$
Il vient alors que :
$3\le u_{k+1} \le 4$ et on peut alors écrire que : $3\le u_{k+1} \le 4\le 10$
d'où : $3\le u_{k+1} \le 10$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien :