La récurrence - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} \le 2$$ (c'est la traduction mathématique d'une suite majorée par $$2$$).
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =\frac{1}{2}$$ ainsi $$u_{0} \le 2$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} \le 2$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} \le 2$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \le 2$$ , on rajoute $$2$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$2+u_{k} \le 2+2$$
$$2+u_{k} \le 4$$ on compose par la fonction racine carrée les deux membres de l'inégalité (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$). La fonction racine carrée étant croissante sur $$\left[0,+\infty \right[$$, l'ordre est alors conservé. Il vient alors que :
$$\sqrt{2+u_{k} } \le \sqrt{4}$$
Il vient alors que :
$$u_{k+1} \le 2$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :