Suites et récurrence

Inéquations avec les suites et logarithme népérien - Exercice 1

15 min
25
Question 1
Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue nn entier naturel.

3n≥10003^{n} \ge 1000

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
3n≥10003^{n} \ge 1000 équivaut successivement à :
ln⁡(3n)≥ln⁡(1000)\ln \left(3^{n} \right)\ge \ln \left(1000\right)
n×ln⁡(3)≥ln⁡(1000)n\times \ln \left(3\right)\ge \ln \left(1000\right)
n≥ln⁡(1000)ln⁡(3)n\ge \frac{\ln \left(1000\right)}{\ln \left(3\right)}
Or : ln⁡(1000)ln⁡(3)≈6,28\frac{\ln \left(1000\right)}{\ln \left(3\right)} \approx 6,28 . Il faut prendre le premier entier supérieur à 6,286,28
Il en résulte que :
n≥7n \ge 7
Question 2

(12)n≤10−4\left(\frac{1}{2} \right)^{n} \le 10^{-4}

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
(12)n≤10−4\left(\frac{1}{2} \right)^{n} \le 10^{-4} équivaut successivement à :
ln⁡((12)n)≤ln⁡(10−4)\ln \left(\left(\frac{1}{2} \right)^{n} \right)\le \ln \left(10^{-4} \right)
n×ln⁡(12)≤ln⁡(10−4)n\times \ln \left(\frac{1}{2} \right)\le \ln \left(10^{-4} \right) on divise par ln⁡(12)<0\ln \left(\frac{1}{2} \right)<0, on change donc le sens de l'inégalité.
n≥ln⁡(10−4)ln⁡(12)n\ge \frac{\ln \left(10^{-4} \right)}{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}
Or : ln⁡(10−4)ln⁡(12)≈13,28\frac{\ln \left(10^{-4} \right)}{\ln \left(\frac{1}{2} \right)} \approx 13,28 Il faut prendre le premier entier supérieur à 13,2813,28
Il en résulte que :
n≥14n \ge 14

Question 3

25×1,12n+50>10025\times 1,12^{n} +50>100

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
25×1,12n+50>10025\times 1,12^{n} +50>100 équivaut successivement à :
25×1,12n>100−5025\times 1,12^{n} >100-50
25×1,12n>5025\times 1,12^{n} >50
1,12n>50251,12^{n} >\frac{50}{25}
1,12n>21,12^{n} >2
ln⁡(1,12n)>ln⁡(2)\ln \left(1,12^{n} \right)>\ln \left(2\right)
n×ln⁡(1,12)>ln⁡(2)n\times \ln \left(1,12\right)>\ln \left(2\right)
n>ln⁡(2)ln⁡(1,12)n>\frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(1,12\right)}
Or : ln⁡(2)ln⁡(1,12)≈6,11\frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(1,12\right)} \approx 6,11 Il faut prendre le premier entier supérieur à 6,116,11
Il en résulte que :
n≥7n \ge 7

Question 4

800−100×0,7n≥780800-100\times 0,7^{n} \ge 780

Correction
  • ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\times \ln \left(a\right).
800−100×0,7n≥780800-100\times 0,7^{n} \ge 780 équivaut successivement à:
−100×0,7n≥780−800-100\times 0,7^{n} \ge 780-800
−100×0,7n≥−20-100\times 0,7^{n} \ge -20
0,7n≤−20−1000,7^{n} \le \frac{-20}{-100}
0,7n≤0,20,7^{n} \le 0,2
ln⁡(0,7n)≤ln⁡(0,2)\ln \left(0,7^{n} \right)\le \ln \left(0,2\right)
n×ln⁡(0,7)≤ln⁡(0,2)n\times \ln \left(0,7\right)\le \ln \left(0,2\right) on divise par ln⁡(0,7)<0\ln \left(0,7 \right)<0, on change donc le sens de l'inégalité.
n≥ln⁡(0,2)ln⁡(0,7)n\ge \frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,7\right)}
Or : ln⁡(0,2)ln⁡(0,7)≈4,51\frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,7\right)} \approx 4,51 Il faut prendre le premier entier supérieur à 4,514,51
Il en résulte que :
n≥5n \ge 5

Question 5

6×0,95n−1≤26\times 0,95^{n} -1\le 2

Correction
6×0,95n−1≤26\times 0,95^{n} -1\le 2 équivaut successivement à :
6×0,95n≤2+16\times 0,95^{n} \le 2+1
6×0,95n≤36\times 0,95^{n} \le 3
0,95n≤360,95^{n} \le \frac{3}{6}
0,95n≤120,95^{n} \le \frac{1}{2}
ln⁡(0,95n)≤ln⁡(12)\ln \left(0,95^{n} \right)\le \ln \left(\frac{1}{2} \right)
n×ln⁡(0,95)≤ln⁡(12)n\times \ln \left(0,95\right)\le \ln \left(\frac{1}{2} \right)
n≥ln⁡(12)ln⁡(0,95)n\ge \frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{\ln \left(0,95\right)} on divise par ln⁡(0,95)<0\ln \left(0,95 \right)<0, on change donc le sens de l'inégalité.
Or : ln⁡(12)ln⁡(0,95)≈13,51\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{\ln \left(0,95\right)}\approx13,51. Il faut prendre le premier entier supérieur à 13,5113,51
Il en résulte que :
n≥14n \ge 14