A faire pour le BAC BLANC Amérique du Nord Sujet 2 - 21 mai 2026 : Fonction, suite récurrente et somme de termes - Exercice 1

Soit $$x\in \mathbb{R}$$ ainsi $$x^2 \ge 0$$ et $$1+x^2>0$$.
$$f(x)=x$$ équivaut à :
$$\frac{2 x}{\sqrt{1+x^2}}=x$$
$$\frac{2 x}{\sqrt{1+x^2}}-x=0$$
$$x\left(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}-1\right)=0$$. Nous avons factorisé par $$x$$.
On rencontre une équation produit nul .
D'une part : Résolvons $$x=0$$ . La solution de cette équation est alors $$x=0$$.
D'autre part :
$$\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}-1=0$$ équivaut à :
$$\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}=1$$
$$\frac{2\times \red{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}}=1\times \red{\sqrt{1+x^2}}$$ . On a multiplié chaque membre de l'égalité par $$\sqrt{1+x^2}$$ .
$$2=\sqrt{1+x^2}$$ . Comme $$2>0$$ et $$1+x^2>0$$, on compose par la fonction $$x\mapsto x^2$$ chaque membre de l'égalité.
Ainsi :
$$2^2=\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2$$
$$4=1+x^2$$
$$x^2=3$$
$$x=-\sqrt{3} \quad$$ ou $$\quad x=\sqrt{3}$$.
Finalement, les solutions de l'équation $$f(x)=x$$ sont

On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=2x$$ et $$v\left(x\right)=\sqrt{1+x^2}$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2} }=\frac{x}{\sqrt{1+x^2} }$$.
Il vient alors que :
$$f^{\prime}(x)=\frac{2 \sqrt{1+x^2}-2 x \times \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}$$
On simplifie le numérateur en mettant au même dénominateur :
$$f^{\prime}(x)=\frac{\dfrac{2\sqrt{1+x^2}\times\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}-2 x \times \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{\dfrac{2\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}{\sqrt{1+x^2}}-2 x \times \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{\dfrac{2\left(1+x^2\right)}{\sqrt{1+x^2}}-2 x \times \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{\dfrac{2\left(1+x^2\right)-2 x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{\dfrac{2-2x^2-2 x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$$
$$f^{\prime}(x)=\frac{\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$$.
On rappelle que $$\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{b c}$$ avec $$b\ne 0$$ et $$c\ne 0$$.
Il vient alors que :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$ ainsi $$x^2 \ge 0$$ et $$1+x^2>0$$.
Ainsi :
Il en résulte donc que $$\sqrt{1+x^2}>0$$ et de ce fait $$\left(1+x^2\right) \sqrt{1+x^2}>0$$.
Finalement, pour tout réel $$x$$, on a : $$f^{\prime}(x)>0$$.
La fonction $$f$$ est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$.

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1}<\sqrt{3}$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On a :
$$u_0=1$$
$$u_1=f\left(u_0\right)$$ ou encore $$u_1=f\left(1\right)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$
Ainsi : $$1 \leqslant u_0 \leqslant u_1<\sqrt{3}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$1 \le u_{k} \le u_{k+1}< \sqrt{3}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$1 \le u_{k+1} \le u_{k+2} < \sqrt{3}$$
Par hypothèse de récurrence,
$$1\le u_{k+1} \le u_{k} \le \sqrt{3}$$ , or $$f:x\mapsto \frac{2 x}{\sqrt{1+x^2}}$$ une fonction croissante sur $$\left[1;\sqrt{3}\right]$$ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(1\right) \le f\left(u_{k}\right) \le f\left(u_{k+1}\right) < f\left(\sqrt{3}\right)$$ . Comme $$f\left(x\right)=\frac{2 x}{\sqrt{1+x^2}}$$ alors : $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$ et $$f\left(u_{k+1} \right)=u_{k+2}$$ . Il vient alors que :
$$f\left(1\right) \le u_{k+1} \le u_{k+2} < f\left(\sqrt{3}\right)$$ .
De plus : $$f\left(1\right)=\frac{2 }{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}$$ et $$f(\sqrt{3})=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{1+3}}=\sqrt{3}$$
Ainsi :
$$\red{ 1\le}\sqrt{2} \le u_{k+1} \le u_{k+2} < \sqrt{3}$$
Finalement : $$1 \le u_{k+1} \le u_{k+2} < \sqrt{3}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, $$1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1}<\sqrt{3}$$ .

D'après la question précédente, on sait que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1}<\sqrt{3}$$
Ainsi, la suite $$\left(u_n\right)$$ est croissante et majorée par $$\sqrt{3}$$.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

Comme la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente alors elle admet une limite que l'on note $$\ell$$.
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est donc convergente et définie par $$u_{n+1} =f\left(u_{n} \right)$$ .
La fonction $$f:x\mapsto \frac{2 x}{\sqrt{1+x^2}}$$ est continue sur $$\left[1;\sqrt{3}\right]$$.
D'après le théorème du point fixe, $$\ell$$ est solution de l'équation
D'après la question $$1$$, les solutions de l'équation $$f(x)=x$$ sont
D'après la question $$4$$, on sait que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1}<\sqrt{3}$$.
Cela signifie que $$1 \leqslant \ell \leqslant \sqrt{3}$$.
L’unique réel vérifiant : $$f\left(\ell\right)=\ell$$ avec $$\ell \in \left[1;\sqrt{3}\right]$$.
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n$$, on pose : $$v_n=\frac{u_n^2}{3-u_n^2}$$ ce qui nous permet d'écrire que $$v_{n+1}=\frac{\left(u_{n+1}\right)^2}{3-\left(u_{n+1}\right)^2}$$.
Commençons par calculer $$\red{\left(u_{n+1}\right)^2}$$ .
On rappelle que $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
Ainsi : $$u_{n+1}= \frac{2 u_n}{\sqrt{1+u_n^2}}$$ donc $$\left(u_{n+1}\right)^2=\left(\frac{2 u_n}{\sqrt{1+u_n^2}}\right)^2$$
$$\left(u_{n+1}\right)^2=\frac{\left(2 u_n\right)^2}{\left(\sqrt{1+u_n^2}\right)^2}$$

Continuons par calculer $$\red{3-\left(u_{n+1}\right)^2}$$ .
$$3-\left(u_{n+1}\right)^2=3-\frac{4 u_n^2}{1+u_n^2}$$
$$3-\left(u_{n+1}\right)^2=\frac{3\left(1+u_n^2\right)-4 u_n^2}{1+u_n^2}$$
$$3-\left(u_{n+1}\right)^2=\frac{3+3 u_n^2-4 u_n^2}{1+u_n^2}$$
$$3-\left(u_{n+1}\right)^2=\frac{3- u_n^2}{1+u_n^2}$$
Maintenant nous pouvons calculer $$\red{v_{n+1}=\frac{\left(u_{n+1}\right)^2}{3-\left(u_{n+1}\right)^2}}$$ .
$$v_{n+1}=\frac{\left(u_{n+1}\right)^2}{3-\left(u_{n+1}\right)^2}$$
$$v_{n+1}=\frac{\dfrac{4 u_n^2}{1+u_n^2}}{\dfrac{3-u_n^2}{1+u_n^2}}$$
$$v_{n+1}=\frac{\dfrac{4 u_n^2}{\cancel{1+u_n^2}}}{\dfrac{3-u_n^2}{\cancel{1+u_n^2}}}$$
$$v_{n+1}=\frac{4 u_n^2}{3-u_n^2}$$
$$v_{n+1}=4\times\frac{u_n^2}{3-u_n^2}$$
Ainsi :
La suite $$\left(v_n\right)$$ est donc une suite géométrique de raison $$4$$.
Déterminer le premier terme de la suite $$\red{\left(v_n\right)}$$
On sait que $$u_0=1$$ ainsi $$v_0=\frac{u_0^2}{3-u_0^2}=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$$ .
La suite $$\left(v_n\right)$$ est donc une suite géométrique de raison $$4$$ et de premier terme $$\frac{1}{2}$$.

La suite $$\left(v_n\right)$$ est donc une suite géométrique de raison $$4$$ et de premier terme $$\frac{1}{2}$$.
L'expression de $$v_n$$ en fonction de $$n$$ est alors pour tout entier naturel $$n$$ :
On rappelle également que, pour tout entier naturel $$n$$, on a :
$$v_n=\frac{u_n^2}{3-u_n^2}$$
$$\frac{u_n^2}{3-u_n^2}=\frac{1}{2} \times 4^n$$. Nous allons exprimer $$u_n^2$$ en fonction de $$n$$.
$$u_n^2=\frac{1}{2} \times 4^n\left(3-u_n^2\right)$$
$$u_n^2=\frac{1}{2} \times 4^n\times3+\frac{1}{2} \times 4^n\times\left(-u_n^2\right)$$
$$u_n^2=\frac{1}{2} \times 4^n\times3-\frac{1}{2} \times 4^n\times u_n^2$$
$$u_n^2+\frac{1}{2} \times 4^n\times u_n^2=\frac{1}{2} \times 4^n\times3$$. On factorise par $$u_n^2$$, d'où :
$$u_n^2\left(1+0,5 \times 4^n\right)=1,5 \times 4^n$$
$$u_n^2=\frac{1,5 \times 4^n}{1+0,5 \times 4^n}$$
D'après la question $$4$$, on sait que $$u_n>0$$ .
On peut donc écrire que pour tout entier naturel $$n$$, nous avons bien :

D'après la question précédente, nous savons que pour tout entier naturel $$n$$, on a :
$$u_n=\sqrt{\frac{1,5 \times 4^n}{1+0,5 \times 4^n}}$$
Nous allons factoriser le numérateur et le dénominateur par $$4^n$$.
$$u_n=\sqrt{\frac{1,5 \times 4^n}{4^n\left(\dfrac{1}{4^n}+\dfrac{0,5 \times 4^n}{4^n}\right)}}$$
$$u_n=\sqrt{\frac{1,5 }{\dfrac{1}{4^n}+0,5}}$$
Comme $$4>1$$ alors $$\lim _{n \rightarrow+\infty} 4^n=+\infty$$ et ainsi $$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{4^n}=0$$
Finalement :
$$\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\sqrt{\frac{1,5}{0,5}}$$.
Finalement :