Suites et récurrence

Exercices types : 44ème partie - Exercice 1

10 min
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Soit nn un entier naturel.
Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie par : {u0=12un+1=unun\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n} \sqrt{u_{n} } } \end{array}\right.
Question 1

Montrer que, pour tout entier naturel nn, on a : 0<un<10< u_{n} < 1 .

Correction
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété 0<un<10< u_{n} < 1 .
Etape d’initialisation :\red{\text{Etape d'initialisation :}}
On sait que u0=12u_{0} =\frac{1}{2} ainsi 0<u0<10< u_{0} < 1.
La propriété P0P_{0} est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊ :\red{\text{Etape d'hérédité :}}
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire 0<uk<10< u_{k} < 1 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire 0<uk+1<10< u_{k+1} < 1
Par hypothèse de récurrence :
0<uk<10< u_{k} < 1 , on compose par la fonction racine carrée les deux membres de l'inégalité. La fonction racine carrée étant croissante sur [0,+∞[\left[0,+\infty \right[, l'ordre est alors conservé. Il vient alors que :
0<uk<1\sqrt{0} < \sqrt{u_{k} } < \sqrt{1}
    Soient aa, bb, cc et dd des réels alors :
  • Si 0≤a≤b0\le{\color{red}a} \le {\color{blue}b} et \text{et} 0≤c≤d0\le {\color{purple}c}\le {\color{green}d} alors\text{alors} 0≤a×c≤b×d0\le {\color{red}a}\times{\color{purple}c}\le {\color{blue}b}\times{\color{green}d}
0<uk<10< \color{red}\sqrt{u_{k} } < \color{blue}1 . Or 0<uk<10< \color{purple}u_{k} < \color{green}1 . Ainsi :
0<uk×uk<1×10< {\color{red}\sqrt{u_{k} }}\times{\color{purple}u_{k}}< {\color{blue}1}\times{\color{green}1}
Il vient alors que :
0<uk+1<10< u_{k+1} < 1
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion :\red{\text{Conclusion :}}
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, on a bien :
0<un<10< u_{n} < 1

Question 2

Etudier la monotonie de la suite (un)\left(u_{n}\right) .

Correction
Il est impératif de vérifier tout d'abord que un>0{\color{red}u_{n}>0} pour pouvoir utiliser cette méthode.
  • Si un+1un≥1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1un≤1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \le 1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1un=1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
D'après la question précédente, pour tout entier naturel nn, nous savons que : 0<un<10< u_{n} < 1
De plus, un+1=ununu_{n+1}=u_{n} \sqrt{u_{n} }
Ainsi :
un+1un=un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\sqrt{u_{n} }
Toujours d'après la question précédente, pour tout entier naturel nn, nous avons montré que : 0<un<10 < \sqrt{u_{n} } < 1
Il en résulte donc que :
un+1un=un<1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\sqrt{u_{n} } \red{<1}
D'où :
un+1un<1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } <1

La suite (un)\left(u_{n}\right) est alors décroissante .
Question 3

Montrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est convergente .

Correction
  • Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
  • Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
On vient de démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) était minorée par 00 car : un≥0u_{n} \ge 0 . De plus, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente et admet donc une limite que l'on note ℓ\ell.