Pour étudier les variations de la suite
(un), nous allons étudier le signe de
un+1−un.
Ainsi :
un+1−un=un+8un−un un+1−un=un+8un−un . Nous allons factoriser par
unun+1−un=un(un+81−1) . Nous allons maintenant tout mettre au même dénominateur.
un+1−un=un(un+81−un+8un+8) un+1−un=un(un+81−(un+8)) un+1−un=un(un+81−un−8) un+1−un=un(un+8−un−7) Nous avons vu à la question
5, que pour tout entier naturel
n,
Ainsi, on vérifie facilement que
un+8>0 et que
−un−7<0.
Finalement :
un(un+8−un−7)<0Il en résulte donc que
un+1−un<0.
La suite
(un) est donc décroissante.