Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} =3\times 2^{n} +n-2$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =1$$ et que $$u_{0}=3\times 2^{0} +0-2=3-2=1$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} =3\times 2^{k} +k-2$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} =3\times 2^{k+1} +\left(k+1\right)-2$$. Ainsi : $$u_{k+1} =3\times 2^{k+1} +k-1$$.
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} =3\times 2^{k} +k-2$$ , on multiplie par $$2$$ de part et d'autre de l'égalité
$$2\times u_{k} =2\times \left(3\times 2^{k} +k-2\right)$$
$$2\times u_{k} =2\times 3\times 2^{k} +2k-4$$ . On rappelle que $$2\times 2^{k}=2^{k+1}$$ . Ainsi :
$$2\times u_{k} =3\times 2^{k+1} +2k-4$$, on va maintenant additionner par $$-k+3$$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$2\times u_{k}-k+3 =3\times 2^{k+1} +2k-4-k+3$$
$$u_{k+1} =3\times 2^{k+1} +k-1$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :

Comme $$2 >1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} =+\infty$$
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times 2^{n} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n-2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par addition

Pour tout entier naturel $$n$$ supérieur ou égal à $$3$$, on a :
$$\frac{u_{n} }{v_{n} } =\frac{3\times 2^{n} +n-2}{2^{n}}$$ équivaut successivement à :
$$\frac{u_{n} }{v_{n} } =3+\frac{n-2}{2^{n} }$$
Nous allons maintenant étudier le signe de : $$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} }$$ pour déterminer les variations de la suite $$\left(\frac{u_{n} }{v_{n} } \right)$$ .
$$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} } =3+\frac{n+1-2}{2^{n+1} } -\left(3+\frac{n-2}{2^{n} } \right)$$ équivaut successivement à :
$$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} } =3+\frac{n-1}{2^{n+1} } -\left(3+\frac{n-2}{2^{n} } \right)$$
$$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} } =3+\frac{n-1}{2^{n+1} } -3-\frac{n-2}{2^{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} } =\frac{n-1}{2^{n+1} } -\frac{n-2}{2^{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} } =\frac{n-1}{2^{n+1} } -\frac{2\times \left(n-2\right)}{2\times 2^{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} } =\frac{n-1}{2^{n+1} } -\frac{2n-4}{2^{n+1} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} } =\frac{n-1-\left(2n-4\right)}{2^{n+1} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} } =\frac{n-1-2n+4}{2^{n+1} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} } =\frac{-n+3}{2^{n+1} }$$
Pour tout entier naturel $$n$$ supérieur ou égal à $$3$$, on a : $$2^{n+1}>0$$, de plus : $$n\ge 3$$ ainsi $$-n\le- 3$$ ainsi $$-n+3\le 0$$.
Il en résulte donc que, pour tout entier naturel $$n$$ supérieur ou égal à $$3$$, on a : $$\frac{-n+3}{2^{n+1}}\le 0$$
Finalement : $$\frac{u_{n+1} }{v_{n+1} } -\frac{u_{n} }{v_{n} }\le 0$$.
La suite $$\left(\frac{u_{n} }{v_{n} } \right)$$ est bien décroissante à partir du rang $$3$$.

D'après la question précédente, on a : $$\frac{u_{n} }{v_{n} } =3+\frac{n-2}{2^{n} }$$
$$\frac{u_{n} }{v_{n} } =3+\frac{n-2}{2^{n} }$$ équivaut successivement à :
$$\frac{u_{n} }{v_{n} } =3+\frac{n}{2^{n} } -\frac{2}{2^{n} }$$
$$\frac{u_{n} }{v_{n} } =3+\frac{n}{2^{n} } -\frac{1}{2^{n-1} }$$
Or, pour tout entier naturel $$n$$ supérieur ou égal à $$4$$, on a :
$$0\le \frac{n}{2^{n} } \le \frac{1}{n}$$ équivaut successivement à :
$$3-\frac{1}{2^{n-1} }\le 3+\frac{n}{2^{n} }-\frac{1}{2^{n-1} } \le 3+\frac{1}{n}-\frac{1}{2^{n-1} }$$
$$3-\frac{1}{2^{n-1} }\le \frac{u_{n} }{v_{n} } \le 3+\frac{1}{n}-\frac{1}{2^{n-1} }$$
On vérifie facilement que : $$\lim\limits_{n\to +\infty }-\frac{1}{2^{n-1} } =0$$ .
D'une part : $$\lim\limits_{n\to +\infty }3-\frac{1}{2^{n-1} } =3$$
D'autre part : $$\lim\limits_{n\to +\infty }3+\frac{1}{n}-\frac{1}{2^{n-1} } =3$$
D'après le théorème des gendarmes :