Suites et récurrence

Exercices types : 33ème partie

Exercice 1

Soit nn un entier naturel.
On définit la suite (un)(u_{n}) par u0=1u_{0} =1 et un+1=2unn+3u_{n+1} =2u_{n}-n+3.
On définit la suite (vn)(v_{n}) par vn=2nv_{n} =2^{n}.
1

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, on a : un=3×2n+n2u_{n} =3\times 2^{n} +n-2.

Correction
2

Déterminer la limite de la suite (un)(u_{n}).

Correction
3

Démontrer que la suite (unvn)\left(\frac{u_{n} }{v_{n} } \right) est décroissante à partir du rang 33.

Correction
On admet que pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 44, on a : 0n2n1n0\le \frac{n}{2^{n} } \le \frac{1}{n}
4

Déterminer la limite de la suite (unvn)\left(\frac{u_{n} }{v_{n} } \right) .

Correction

Exercice 2

On considère la suite (un)(u_{n}) à valeurs réelles définie par u0=1u_{0}=1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=unun+8u_{n+1} =\frac{u_{n} }{u_{n} +8} .

Partie A: Conjectures
Les premières valeurs de la suite (un)(u_{n}) ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran :
1

Quelle formule peut-on entrer dans la cellule B3 et copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite (un)(u_{n})?

Correction
2

Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite (un)(u_{n})?

Correction
3

Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (un)(u_{n})?

Correction
4

Écrire un algorithme calculant u30u_{30}.

Correction
Partie B : Étude générale
On considère la suite (un)(u_{n}) à valeurs réelles définie par u0=1u_{0}=1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=unun+8u_{n+1} =\frac{u_{n} }{u_{n} +8} .
5

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, un>0u_{n} >0.

Correction
6

Étudier les variations de la suite (un)(u_{n}).

Correction
7

La suite (un)(u_{n}) est-elle convergente ? Justifier.

Correction
Partie C: Recherche d’une expression du terme général
On définit la suite (vn)(v_{n}) en posant, pour tout entier naturel nn, vn=1+7unv_{n} =1+\frac{7}{u_{n} }
8

Exprimer unu_{n} en fonction de vnv_{n} .

Correction
9

Démontrer que la suite (vn)(v_{n}) est une suite géométrique de raison 88 dont on déterminera le premier terme.

Correction
10

Exprimer vnv_{n} en fonction de nn .

Correction
11

Justifier que, pour tout entier naturel nn, un=78n+11u_{n} =\frac{7}{8^{n+1} -1} .

Correction
12

Déterminer la limite de la suite (un)(u_{n}) .

Correction
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