Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un≥−3 (c'est la traduction mathématique d'une suite minorée par
−3).
Etape d'initialisationOn sait que
u0=−1 ainsi
u0≥−3.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk≥−3 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1≥−3Par hypothèse de récurrence :
uk≥−3 , on multiplie par
32 de part et d'autre de l'inégalité :
32uk≥−3×3232uk≥−2 , on ajoute
−1 de part et d'autre de l'inégalité :
32uk−1≥−3 Il vient alors que :
uk+1≥−3Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien
un≥−3 . Autrement dit , la suite
(vn) est bien minorée par
−3