Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} =1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n}$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =13$$ et que $$u_{0} =1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{0}=13$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} =1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} =1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} =1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{k}$$ , on multiplie par $$\frac{1}{5}$$ de part et d'autre de l'égalité
$$\frac{1}{5} u_{k} =\frac{1}{5} \times \left(1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{k} \right)$$
$$\frac{1}{5} u_{k} =\frac{1}{5} +\frac{1}{5} \times 12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{k}$$
$$\frac{1}{5} u_{k} =\frac{1}{5} +12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{k+1}$$ , on additionne par $$\frac{4}{5}$$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$\frac{1}{5} u_{k} +\frac{4}{5}=\frac{1}{5} +12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{k+1} +\frac{4}{5}$$ . On rappelle que $$u_{k+1} =\frac{1}{5}u_{k} +\frac{4}{5}$$. Il vient alors que :
$$u_{k+1} =\frac{5}{5} +12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{k+1}$$
$$u_{k+1} =1 +12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n} =1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n}$$ .

Comme $$-1<\frac{1}{5}<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{5}\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 12\times\left(\frac{1}{5}\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 12\times\left(\frac{1}{5}\right)^{n} +1=1$$
Ainsi : $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1$$

Nous allons étudier le signe de $$S_{n+1} -S_{n}$$.
On sait que :
$$S_{n} =u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}$$ donc $$S_{n+1} =u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}+u_{n+1}$$.
Ainsi :
$$S_{n+1} -S_{n}=(u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}+u_{n+1})-(u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n})$$ équivaut successivement à :
$$S_{n+1} -S_{n}=u_{n+1}$$
$$S_{n+1} -S_{n}=1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n+1}$$
Or $$12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n+1} >0$$ et $$1>0$$ donc $$S_{n+1} -S_{n} >0$$.
Finalement la suite $$(S_{n})$$ est croissante.

On sait que :
$$S_{n} =u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}$$ et que $$u_{n} =1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n}$$
Il vient alors que :

$$S_{n} =\left(1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{0} \right)+\left(1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{1} \right)+\left(1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{2} \right)+\ldots +\left(1+12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} \right)$$
$$S_{n} =\left(1+1+1+\ldots +1\right)+\left(12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{0} +12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{1} +12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{1} +\ldots +12\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} \right)$$
Ici dans la $$1$$^ère parenthèse on comptabilise $$n+1$$ fois le chiffre $$1$$ car il y a $$n+1$$ termes de $$u_{0}$$ à $$u_{n}$$.
$$S_{n} =n+1+12\times \left(\left(\frac{1}{5} \right)^{0} +\left(\frac{1}{5} \right)^{1} +\left(\frac{1}{5} \right)^{1} +\ldots +\left(\frac{1}{5} \right)^{n} \right)$$
Or : $$\left(\left(\frac{1}{5} \right)^{0} +\left(\frac{1}{5} \right)^{1} +\left(\frac{1}{5} \right)^{1} +\ldots +\left(\frac{1}{5} \right)^{n} \right)$$ correspond à la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=\frac{1}{5}$$.
Ainsi :
$$\left(\left(\frac{1}{5} \right)^{0} +\left(\frac{1}{5} \right)^{1} +\left(\frac{1}{5} \right)^{1} +\ldots +\left(\frac{1}{5} \right)^{n} \right)=1\times \left(\frac{1-\left(\frac{1}{5} \right)^{n+1} }{1-\frac{1}{5} } \right)$$
Il vient alors que :
$$S_{n} =n+1+12\times 1\times \left(\frac{1-\left(\frac{1}{5} \right)^{n+1} }{1-\frac{1}{5} } \right)$$
$$S_{n} =n+1+12\times \left(\frac{1-\left(\frac{1}{5} \right)^{n+1} }{\frac{4}{5} } \right)$$
$$S_{n} =n+1+12\times \frac{5}{4} \times \left(1-\left(\frac{1}{5} \right)^{n+1} \right)$$
Finalement :

$$\lim\limits_{n\to +\infty } n+1+15\left(1-\frac{1}{5^{n+1} } \right)=\lim\limits_{n\to +\infty } n+1+15\left(1-\left(\frac{1}{5} \right)^{n} \times \frac{1}{5} \right)$$ car $$\frac{1}{5^{n+1} } =\left(\frac{1}{5} \right)^{n} \times \frac{1}{5}$$.
Comme $$-1<\frac{1}{5}<1$$ alors :$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{5}\right)^{n} =0$$.
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1 } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 15\left(1-\left(\frac{1}{5} \right)^{n} \times \frac{1}{5} \right)} & {=} & {15} \end{array}\right\}$$ par produit