On conjecture que pour tout entier naturel
n non nul que
un=nn+1.
Démontrons cette conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un=nn+1Etape d'initialisationOn sait que
u1=2 ainsi
u1=11+1=2.
La propriété
P1 est vraie
Etape d'héréditéSoit
k un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk=kk+1 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1=k+1k+2 Par hypothèse de récurrence :
uk=kk+12uk=2×(kk+1)2uk=k2k+22uk−1=k2k+2−12uk−1=k2k+2−kk2uk−1=k2k+2−k2uk−1=kk+2Or :
uk+1=uk2uk−1C'est-à-dire :
uk+1=(2uk−1)×uk1 et
uk1=k+1k car on sait que
uk=kk+1On multiplie donc le membre de gauche par :
uk1 et le membre de droite par :
k+1k (2uk−1)×uk1=(kk+2)×(k+1k)Maintenant le membre de gauche est égale à :
uk+1Après simplification on a :
uk+1=k+1k+2 , il vient alors que la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P1 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n non nul, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n non nul , on a bien
un=nn+1