Suites et récurrence

Exercices types : 11ère partie - Exercice 5

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Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie sur N\mathbb{N} par u1=2u_{1} =2 et pour tout entier naturel nn non nul , un+1=2un1unu_{n+1} =\frac{2u_{n}-1}{u_{n}} .
Question 1

Pour calculer et afficher le terme u5u_{5} , on propose l'algorithme ci-dessous.
Compléter les lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
Variables
nn est un entier naturel; uu est un réel
Initialisation
Affecter à nn la valeur 11.
Affecter à uu la valeur 22.
Traitement
Tant que ....
    Affecter à nn la valeur...
    Affecter à uu la valeur...
Fin tant que
Sortie
Afficher la valeur uu

Correction
Variables
nn est un entier naturel; uu est un réel
Initialisation
Affecter à nn la valeur 11.
Affecter à uu la valeur 22.
Traitement
Tant que n5\red{n\le 5}
    Affecter à nn la valeur n+1\red{n+1}
    Affecter à uu la valeur 2u1u\red{\frac{2u-1}{u}}
Fin tant que
Sortie
Afficher la valeur uu.
Question 2

Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de u2u_{2} jusqu'à u5u_{5} ?

Correction
Variables
nn est un entier naturel; uu est un réel
Initialisation
Affecter à nn la valeur 11.
Affecter à uu la valeur 22.
Traitement
Tant que n5n\le 5
    Affecter à nn la valeur n+1n+1
    Affecter à uu la valeur 2u1u\frac{2u-1}{u}
    Afficher la valeur\red{\text{Afficher la valeur}} u\red{u}
Fin tant que
Question 3
Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie sur N\mathbb{N} par u1=2u_{1} =2 et pour tout entier naturel nn, un+1=2un1unu_{n+1} =\frac{2u_{n}-1}{u_{n}}

Compléter le tableau suivant :

Correction
On détaille uniquement pour u2u_{2} .
Ainsi : u2=2u11u1u_{2} =\frac{2u_{1} -1}{u_{1} }
Donc : u2=32u_{2} =\frac{3}{2}
Question 4

Quelle conjecture peut-on faire sur l'expression de unu_{n} en fonction de nn ?
Démontrer, par récurrence cette conjecture.

Correction
On conjecture que pour tout entier naturel nn non nul que un=n+1nu_{n} =\frac{n+1}{n} .
Démontrons cette conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:un=n+1nP_{n} :u_{n} =\frac{n+1}{n}
Etape d'initialisation
On sait que u1=2u_{1} =2 ainsi u1=1+11=2u_{1} =\frac{1+1}{1} =2.
La propriété P1P_{1} est vraie
Etape d'hérédité
Soit kk un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire uk=k+1ku_{k} =\frac{k+1}{k} et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire uk+1=k+2k+1u_{k+1} =\frac{k+2}{k+1}
Par hypothèse de récurrence :
uk=k+1ku_{k} =\frac{k+1}{k}
2uk=2×(k+1k)2u_{k} =2\times \left(\frac{k+1}{k} \right)
2uk=2k+2k2u_{k} =\frac{2k+2}{k}
2uk1=2k+2k12u_{k} -1=\frac{2k+2}{k} -1
2uk1=2k+2kkk2u_{k} -1=\frac{2k+2}{k} -\frac{k}{k}
2uk1=2k+2kk2u_{k} -1=\frac{2k+2-k}{k}
2uk1=k+2k2u_{k} -1=\frac{k+2}{k}
Or : uk+1=2uk1uku_{k+1} =\frac{2u_{k} -1}{u_{k} }
C'est-à-dire : uk+1=(2uk1)×1uku_{k+1} =\left(2u_{k} -1\right)\times \frac{1}{u_{k} } et 1uk=kk+1\frac{1}{u_{k} } =\frac{k}{k+1} car on sait que uk=k+1ku_{k} =\frac{k+1}{k}
On multiplie donc le membre de gauche par : 1uk\frac{1}{u_{k} } et le membre de droite par : kk+1\frac{k}{k+1} (2uk1)×1uk=(k+2k)×(kk+1)\left(2u_{k} -1\right)\times \frac{1}{u_{k} } =\left(\frac{k+2}{k} \right)\times \left(\frac{k}{k+1} \right)
Maintenant le membre de gauche est égale à : uk+1u_{k+1}
Après simplification on a :
uk+1=k+2k+1u_{k+1} =\frac{k+2}{k+1} , il vient alors que la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété P1P_{1} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn non nul, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn non nul , on a bien un=n+1nu_{n} =\frac{n+1}{n}