- On a montré que 0≤un≤1 ce qui permet d'affirmer que un+1=un+42un+3 est bien définie car le dénominateur ne peut pas s'annuler.
- Pour déterminer le sens de variation de la suite (un), on va procéder par récurrence.
Tout d'abord, calculons
u1=u0+42u0+3=43Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un+1≥un .
En effet si
un+1≥un alors
un+1−un≥0, ce qui signifie que la suite
(un) est croissante.
Etape d'initialisationOn sait que
u0=0 et
u1=43 ainsi
u1≥u0.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk+1≥uk et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+2≥uk+1Par hypothèse de récurrence :
uk+1≥uk . Or la fonction
f est croissante sur
[0;+∞[, ainsi
f(uk+1)≥f(uk) , l'ordre est donc conservé.
uk+2≥uk+1Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien
un+1≥un . Autrement dit, la suite
(un) est croissante.