Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

La bonne réponse est b.
Commençons par calculer $$u_{2}$$, ce qui nous donne :
$$\; u_{2} =3u_{1} -2u_{0}$$ ainsi $$\; u_{2} =3\times 7-2\times 5$$ donc $$\; u_{2} =11$$
Maintenant calculons $$u_{3}$$ :
$$\; u_{3} =3u_{2} -2u_{1}$$ ainsi $$\; u_{3} =3\times 11-2\times 7$$ donc $$\; u_{3} =19$$

La bonne réponse est c.
$$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2} -3n+2$$
Pour lever cette indétermination, nous factoriserons par le monôme de plus haut degré donc ici $$n^{2}$$.
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2} -3n+2=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{5n^{2} -3n+2}{n^{2} } \right)$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2} -3n+2=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{5n^{2} }{n^{2} } -\frac{3n}{n^{2} } +\frac{2}{n^{2} } \right)$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2} -3n+2=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(5-\frac{3}{n} +\frac{2}{n^{2} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5-\frac{3}{n} +\frac{2}{n^{2} } } & {=} & {5} \end{array}\right\}$$ par produit $$\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(5-\frac{3}{n} +\frac{2}{n^{2} } \right)=+\infty$$
Finalement :

La bonne réponse est c.
On a : $$u_{n+1} -u_{n} =-0,1u_{n}$$, ce qui donne $$u_{n+1} =-0,1u_{n} +u_{n}$$ ainsi $$u_{n+1} =0,9u_{n}$$

La bonne réponse est b.
Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de $$2\%$$ par semaine depuis sa parution. Cette information traduit un coefficient multiplicateur $$1+\frac{2}{100}=1,02$$
On reconnaît donc la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=1,02$$ et de $$1$$^er terme $$10000$$.
$$S_{n} ={\text{(1er terme)}}\times \frac{\left(1-\left({\text{raison}}\right)^{{\text{nombre de termes}}} \right)}{1-{\text{raison}}}$$
On note $$S_{n}$$ le nombre d'exemplaires au cours des $$45$$ semaines.
$$S_{n} =\left(10000\right)\times \frac{\left(1-\left(1,02\right)^{45} \right)}{1-1,02}$$
$$S_{n} \approx 718927$$

La bonne réponse est c.
Calculons quelques termes : $$u_{0} =1-\frac{6}{-10,5}=1+\frac{4}{7}\approx 1,57$$ ; $$u_{9} =1-\frac{6}{-1,5}=5$$ ; $$u_{10} =1-\frac{6}{-0,5}=13$$ et $$u_{11} =1-\frac{6}{0,5}=-11$$.
On a $$u_{9} \lt u_{10}$$ mais $$u_{10}>u_{11}$$ : la suite $$(u_{n} )$$ n'est ni croissante ni décroissante, elle n'est pas monotone. La proposition a est fausse.
De plus $$u_{0}>1$$ : la suite $$(u_{n} )$$ n'est pas majorée par $$1$$. La proposition b est fausse.
Remarque : la fonction $$x\mapsto 1-\frac{6}{x-10,5}$$ est croissante sur $$\left]-\infty;10,5\right[$$ et sur $$\left]10,5;+\infty\right[$$, mais elle n'est pas définie en $$10,5$$ : on ne peut pas en déduire que la suite est croissante.