Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un≤n+3Etape d'initialisationOn sait que
u0=2 ainsi
u0≤0+3.
La propriété
P0 est vraie
Etape d'héréditéSoit
k un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk≤k+3 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1≤k+1+3 que l'on écrit
uk+1≤k+4Par hypothèse de récurrence :
uk≤k+3 , on multiplie de part et d'autre de l'inégalité par
3232uk≤32(k+3)32uk≤32k+2 , on rajoute
31k+1 (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche
uk+1)
32uk+31k+1≤32k+2+31k+1uk+1≤k+3uk+1≤k+3≤k+4Ainsi :
uk+1≤k+4, il vient alors que la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien
un≤n+3