Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

On remarque que : $$u_{4}>u_{3}>u_{2}>u_{1}$$ . On peut conjecturer que la suite est croissante.

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} \le n+3$$
Étape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =2$$ ainsi $$u_{0} \le 0+3$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie
Étape d'hérédité
Soit $$k$$ un entier naturel.
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k} \le k+3$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+1} \le k+1+3$$ que l'on écrit $$u_{k+1} \le k+4$$ .

Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \le k+3$$ , on multiplie de part et d'autre de l'inégalité par $$\frac{2}{3}$$
$$\frac{2}{3} u_{k} \le \frac{2}{3} \left(k+3\right)$$
$$\frac{2}{3} u_{k} \le \frac{2}{3} k+2$$ , on rajoute $$\frac{1}{3} k+1$$ (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$\frac{2}{3} u_{k} +\frac{1}{3} k+1\le \frac{2}{3} k+2+\frac{1}{3} k+1$$
$$u_{k+1} \le k+3$$
$$u_{k+1} \le k+3\le k+4$$
Ainsi : $$u_{k+1} \le k+4$$, il vient alors que la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n} \le n+3$$

$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1-u_{n}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-\frac{1}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-\frac{1}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+\frac{3}{3}$$ (nous mettons tout au même dénominateur pour factoriser ensuite par $$\frac{1}{3}$$)
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{3} \left(-u_{n} +n+3\right)$$ qui s'écrit également :
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{3} \left(n+3-u_{n} \right)$$

Comme on l'a montré à la question $$3$$, pour tout $$n$$ naturel, on a $$u_{n} \le n+3$$ ce qui équivaut à dire que la différence $$n+3-u_{n}$$ est positive, et elle le reste en étant multipliée par $$\frac{1}{3}$$, donc la différence entre deux termes consécutifs étant positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite $$\left(u_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ est bien croissante, dès le rang $$0$$.
Mathématiquement, cela nous donne :
$$u_{n} \le n+3$$ équivaut successivement à :
$$0\le n+3-u_{n}$$
$$n+3-u_{n} \ge 0$$
$$\frac{1}{3} \left(n+3-u_{n} \right)\ge 0$$
Comme $$u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{3} \left(n+3-u_{n} \right)$$ alors $$u_{n+1} -u_{n}\ge0$$. La suite $$(u_{n} )$$ est donc bien croissante.

$$v_{n} =u_{n} -n$$
$$v_{n+1} =u_{n+1} -\left(n+1\right)$$
$$v_{n+1} =u_{n+1} -n-1$$
Or : $$u_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1$$
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1-n-1$$
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} {\color{blue}{u_{n}}} -\frac{2}{3} n$$
Or : $$v_{n} =u_{n} -n$$ donc $${\color{blue}{v_{n} +n=u_{n}}}$$
Il vient alors que :
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} {\color{blue}{(v_{n} +n)}}-\frac{2}{3} n$$
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} \times v_{n} +\frac{2}{3} \times n-\frac{2}{3} n$$
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} v_{n}$$
Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=\frac{2}{3}$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -0$$ donc $$v_{0} =2$$

Ainsi :
Ensuite, on sait que : $$v_{n} =u_{n} -n$$
Donc : $$u_{n} =v_{n} +n$$
Il vient alors que :

• D'une part pour $$\sum _{k=0}^{n}2 \left(\frac{2}{3} \right)^{k} =2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n}$$, on reconnaît la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=\frac{2}{3}$$ et de premier terme $$2$$.

On applique la formule :
$$2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} ={1^{\text{er terme}}}\times \frac{\left(1-\left(\text{raison}\right)^\text{nombre de termes} \right)}{1-{\text{raison}}}$$ équivaut successivement à :
$$2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = 2 \times \frac{\left(1-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)}{\left(1-\frac{2}{3} \right)}$$
$$2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = 6 \times \left(1-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)$$
Ainsi :

• D'autre part pour $$\sum _{k=0}^{n}k =0+1+2+3+\ldots +n$$, on reconnaît la somme des termes d'une suite arithmétique de raison $$r=1$$ et de premier terme $$0$$.

On applique la formule :
$$0+1+2+3+\ldots +n=\left(\text{nombre de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$ équivaut successivement à :
$$0+1+2+3+\ldots +n=\left(n+1\right)\times \left(\frac{0+n}{2} \right)$$
$$0+1+2+3+\ldots +n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$
Ainsi :

On sait que :
$$S_{n} =\sum _{k=0}^{n}u_{k} =u_{0} +u_{1} +...+u_{n}$$ , on détaille les termes de cette somme:
$$S_{n} =u_{0} +u_{1} +...+u_{n}$$
$$S_{n} =v_{0} +0+v_{1} +1+v_{2} +2+\ldots +v_{n} +n$$, on réorganise la somme :
$$S_{n} =\left(v_{0} +v_{1} +v_{2} +\ldots +v_{n} \right)+\left(0+1+2+3+\ldots +n\right)$$ , on remarque les sommes $$A_{n}$$ et $$B_{n}$$
$$S_{n} =A_{n} +B_{n}$$