Suites et récurrence

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
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Le 11er janvier 20132013, une grande entreprise compte 15001500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10%10\% de l'effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l'année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100100 jeunes dans l'année.
Pour tout entier naturel nn, on appelle unu_{n} le nombre d'employés de l'entreprise le 11er janvier de l'année (2013+n)(2013+n)
Question 1

Calculer u0u_{0}, u1u_{1} et u2u_{2}

Correction
D'après l'énoncé,
u0=1500u_{0} =1500
, c'est-à-dire 15001500 personnes dans l'entreprise en 20132013.
De plus, 10%10\% de l'effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l'année. Cela signifie que nous avons donc une baisse de 10%10\% ce qui traduit un coefficient multiplicateur 110100=0,91-\frac{10}{100}=0,9 . Enfin, il faut rajouter les 100100 embauches.
Il vient alors que :
u1=u0×0,9+100u_{1} =u_{0} \times 0,9+100 ce qui donne u1=1500×0,9+100u_{1} =1500\times 0,9+100 d'où
u1=1450u_{1} =1450

C'est-à-dire 14501450 personnes dans l'entreprise en 20142014.
u2=u1×0,9+100u_{2} =u_{1} \times 0,9+100 ce qui donne u2=1450×0,9+100u_{2} =1450\times 0,9+100 d'où
u2=1405u_{2} =1405

C'est-à-dire 14051405 personnes dans l'entreprise en 20152015.
Question 2

La suite (un)\left(u_{n} \right) de terme général unu_{n} est-elle arithmétique ? géométrique ?
Justifiez les réponses.

Correction
  • D’une part :\purple{\text{D'une part :}} u1u0=14501500=50u_{1} -u_{0} =1450-1500=-50 et u2u1=14051450=45u_{2} -u_{1} =1405-1450=-45
    Il vient que : u1u0u2u1u_{1} -u_{0} \ne u_{2} -u_{1} , la suite (un)\left(u_{n} \right) n’est pas arithmeˊtique.\red{\text{n'est pas arithmétique.}}
  • D’autre part :\purple{\text{D'autre part :}} u1u0=14501500=2930\frac{u_{1} }{u_{0} } =\frac{1450}{1500} =\frac{29}{30} et u2u1=14051450=281290\frac{u_{2} }{u_{1} } =\frac{1405}{1450} =\frac{281}{290}
    Il vient que : u1u0u2u1\frac{u_{1} }{u_{0} } \ne \frac{u_{2} }{u_{1} } , la suite (un)\left(u_{n} \right) n’est pas geˊomeˊtrique.\red{\text{n'est pas géométrique.}}
  • Question 3
    On admet que, pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,9un+100u_{n+1} =0,9u_{n} +100
    Pour tout entier naturel nn, on pose vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000

    Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) de terme général vnv_{n} est géométrique.
    Préciser la raison.

    Correction
    vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000
    On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
    vn+1=un+11000v_{n+1} =u_{n+1} -1000
    vn+1=0,9un+1001000v_{n+1} =0,9u_{n} +100-1000
    vn+1=0,9un900v_{n+1} =0,9{\color{blue}{u_{n}}} -900.
    Or vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000 donc vn+1000=un{\color{blue}{v_{n} +1000=u_{n}}}
    vn+1=0,9×(vn+1000)900v_{n+1} =0,9\times {\color{blue}{(v_{n} +1000)}}-900
    vn+1=0,9vn+900900v_{n+1} =0,9v_{n} +900-900
    vn+1=0,9vnv_{n+1} =0,9v_{n}
    Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,9q=0,9 et de premier terme v0=15001000=500v_{0} =1500-1000=500 donc v0=500v_{0} =500
    Question 4

    Exprimez vnv_{n} en fonction de nn.
    En déduire que pour tout entier naturel nn , un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000

    Correction
    • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
      vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
    Ainsi : vn=500×0,9nv_{n} =500\times 0,9^{n}
    Or on sait que vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000 donc vn+1000=unv_{n} +1000=u_{n}
    Il vient alors que : un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000
    Question 5

    Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

    Correction
    • Si 1<q<1-1<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
    • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
    Comme 1<0,9<1-1< 0,9< 1 alors :
    limn+(0,9)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,9\right)^{n} =0
    limn+500×(0,9)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 500\times \left(0,9\right)^{n} =0
    limn+500×(0,9)n+1000=1000\lim\limits_{n\to +\infty } 500\times \left(0,9\right)^{n} +1000=1000
    Ainsi : limn+un=1000\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1000
    Question 6

    Démontrer que pour tout entier naturel nn, un+1un=50×0,9nu_{n+1} -u_{n} =-50\times 0,9^{n} .
    En déduire la variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).

    Correction
    On sait que : un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000 donc un+1=500×0,9n+1+1000u_{n+1} =500\times 0,9^{n+1} +1000
    Il vient alors que :
    un+1un=500×0,9n+1+1000(500×0,9n+1000)u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} +1000-\left(500\times 0,9^{n} +1000\right)
    un+1un=500×0,9n+1+1000500×0,9n1000u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} +1000-500\times 0,9^{n} -1000
    un+1un=500×0,9n+1500×0,9nu_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} -500\times 0,9^{n} . On rappelle que 0,9n+1=0,9n×0,90,9^{n+1} =0,9^{n} \times 0,9, ce qui donne :
    un+1un=500×0,9n×0,9500×0,9nu_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times 0,9-500\times 0,9^{n} . On factorise par 500×0,9n500\times 0,9^{n} , on a :
    un+1un=500×0,9n×(0,91)u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times \left(0,9-1\right)
    un+1un=500×0,9n×(0,1)u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times \left(-0,1\right)
    un+1un=50×0,9nu_{n+1} -u_{n} =-50\times 0,9^{n}
    Or 50<0-50<0 et 0,9n>00,9^{n} >0 donc 50×0,9n<0-50\times 0,9^{n} <0.
    Finalement : un+1un<0u_{n+1} -u_{n} <0
    La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc décroissante.