Étudier les variations d'une suite - Exercice 2

15 min
30
Étudier la variation (ou la monotonie) de chacune des suites suivantes.
Question 1

un=2×(54)n−6u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n} -6

Correction
Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
    • On sait que : un=2×(54)n−6u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n} -6 donc un+1=2×(54)n+1−6u_{n+1} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} -6
    Il vient alors que :
    un+1−un=2×(54)n+1−6−(2×(54)n−6)u_{n+1} -u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} -6-\left(2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n} -6\right)
    un+1−un=2×(54)n+1−6−2×(54)n+6u_{n+1} -u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} -6-2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n} +6
    un+1−un=2×(54)n+1−2×(54)nu_{n+1} -u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} -2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n} . On rappelle que (54)n+1=(54)n×54\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} =\left(\frac{5}{4} \right)^{n} \times \frac{5}{4} , ce qui donne :
    un+1−un=2×(54)n×54−2×(54)nu_{n+1} -u_{n} =2\times \red{\left(\frac{5}{4} \right)^{n} } \times \frac{5}{4} -2\times \red{\left(\frac{5}{4} \right)^{n} } . On factorise par (54)n\red{\left(\frac{5}{4} \right)^{n} }, on a :
    un+1−un=(54)n×[2×54−2]u_{n+1} -u_{n} =\red{\left(\frac{5}{4} \right)^{n} } \times \left[2\times \frac{5}{4} -2\right]
    un+1−un=(54)n×12u_{n+1} -u_{n} =\left(\frac{5}{4} \right)^{n} \times \frac{1}{2}
    Or 12>0\frac{1}{2}>0 et (54)n>0\left(\frac{5}{4} \right)^{n} >0 donc (54)n×12>0\left(\frac{5}{4} \right)^{n} \times \frac{1}{2} >0.
    Finalement :
    un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc croissante.
    Question 2

    un=30×(0,8)n+7u_{n} =30\times \left(0,8\right)^{n} +7

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
    • On sait que : un=30×(0,8)n+7u_{n} =30\times \left(0,8\right)^{n} +7 donc un+1=30×(0,8)n+1+7u_{n+1} =30\times \left(0,8\right)^{n+1} +7
    Il vient alors que :
    un+1−un=30×(0,8)n+1+7−(30×(0,8)n+7)u_{n+1} -u_{n} =30\times \left(0,8\right)^{n+1} +7-\left(30\times \left(0,8\right)^{n} +7\right)
    un+1−un=30×(0,8)n+1+7−30×(0,8)n−7u_{n+1} -u_{n} =30\times \left(0,8\right)^{n+1} +7-30\times \left(0,8\right)^{n} -7
    un+1−un=30×(0,8)n+1−30×(0,8)nu_{n+1} -u_{n} =30\times \left(0,8\right)^{n+1} -30\times \left(0,8\right)^{n} . On rappelle que (0,8)n+1=(0,8)n×0,8\left(0,8 \right)^{n+1} =\left(0,8\right)^{n} \times 0,8 , ce qui donne :
    un+1−un=30×(0,8)n×0,8−30×(0,8)nu_{n+1} -u_{n} =30\times \red{\left(0,8 \right)^{n} } \times 0,8 -30\times \red{\left(0,8 \right)^{n} } . On factorise par (0,8)n\red{\left(0,8 \right)^{n} } , on a :
    un+1−un=(0,8)n×[30×0,8−30]u_{n+1} -u_{n} =\red{\left(0,8 \right)^{n} } \times \left[30\times 0,8-30\right]
    un+1−un=(0,8)n×(−6)u_{n+1} -u_{n} =\left(0,8\right)^{n} \times \left(-6\right)
    Or (−6)<0\left(-6\right)<0 et (0,8)n>0\left(0,8 \right)^{n} >0 donc (0,8)n×(−6)<0\left(0,8\right)^{n} \times \left(-6\right)<0.
    Finalement :
    un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc décroissante.
    Question 3

    un=3×(43)n−5u_{n} =3\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n} -5

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
    • On sait que : un=3×(43)n−5u_{n} =3\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n} -5 donc un+1=3×(43)n+1−5u_{n+1} =3\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n+1} -5
    Il vient alors que :
    un+1−un=3×(43)n+1−5−(3×(43)n−5)u_{n+1} -u_{n} =3\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n+1} -5-\left(3\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n} -5\right)
    un+1−un=3×(43)n+1−5−3×(43)n+5u_{n+1} -u_{n} =3\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n+1} -5-3\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n} +5
    un+1−un=3×(43)n+1−3×(43)nu_{n+1} -u_{n} =3\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n+1} -3\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n} . On rappelle que (43)n+1=(43)n×43\left(\frac{4}{3} \right)^{n+1} =\left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{4}{3} , ce qui donne :
    un+1−un=3×(43)n×43−3×(43)nu_{n+1} -u_{n} =3\times \red{\left(\frac{4}{3} \right)^{n} } \times \frac{4}{3} -3\times \red{\left(\frac{4}{3} \right)^{n} } . On factorise par (43)n\red{\left(\frac{4}{3} \right)^{n} }, on a :
    un+1−un=(43)n×[3×43−3]u_{n+1} -u_{n} =\red{\left(\frac{4}{3} \right)^{n} } \times \left[3\times \frac{4}{3} -3\right]
    un+1−un=(43)n×1u_{n+1} -u_{n} =\left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times 1
    Or 1>01>0 et (43)n>0\left(\frac{4}{3} \right)^{n} >0 donc (43)n×1>0\left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times 1 >0.
    Finalement :
    un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc croissante.
    Question 4

    un=40×(0,7)n+9u_{n} =40\times \left(0,7\right)^{n} +9

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
    • On sait que : un=40×(0,7)n+9u_{n} =40\times \left(0,7\right)^{n} +9 donc un+1=40×(0,7)n+1+9u_{n+1} =40\times \left(0,7\right)^{n+1} +9
    Il vient alors que :
    un+1−un=40×(0,7)n+1+9−(40×(0,7)n+9)u_{n+1} -u_{n} =40\times \left(0,7\right)^{n+1} +9-\left(40\times \left(0,7\right)^{n} +9\right)
    un+1−un=40×(0,7)n+1+9−40×(0,7)n−9u_{n+1} -u_{n} =40\times \left(0,7\right)^{n+1} +9-40\times \left(0,7\right)^{n} -9
    un+1−un=40×(0,7)n+1−40×(0,7)nu_{n+1} -u_{n} =40\times \left(0,7\right)^{n+1} -40\times \left(0,7\right)^{n} . On rappelle que (0,7)n+1=(0,7)n×0,7\left(0,7 \right)^{n+1} =\left(0,7\right)^{n} \times 0,7 , ce qui donne :
    un+1−un=40×(0,7)n×0,7−40×(0,7)nu_{n+1} -u_{n} =40\times \red{\left(0,7 \right)^{n} } \times 0,7 -40\times \red{\left(0,7 \right)^{n} } . On factorise par (0,7)n\red{\left(0,7 \right)^{n} } , on a :
    un+1−un=(0,7)n×[40×0,7−40]u_{n+1} -u_{n} =\red{\left(0,7 \right)^{n} } \times \left[40\times 0,7-40\right]
    un+1−un=(0,7)n×(−12)u_{n+1} -u_{n} =\left(0,7\right)^{n} \times \left(-12\right)
    Or (−12)<0\left(-12\right)<0 et (0,7)n>0\left(0,7 \right)^{n} >0 donc (0,7)n×(−12)<0\left(0,7\right)^{n} \times \left(-12\right)<0.
    Finalement :
    un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc décroissante.

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