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Suites et récurrence

Etudier les variations d'une suite - Exercice 1

17 min
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Rappels de 1ère S.
Etudier la variation (ou la monotonie ) de chacune des suites suivantes.
Question 1

un=3n5u_{n} =3n-5

Correction
Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
  • Comme un=3n5u_{n} =3n-5 alors un+1=3(n+1)5u_{n+1} =3\left(n+1\right)-5
    Ainsi :
    un+1un=3(n+1)5(3n5)u_{n+1} -u_{n} =3\left(n+1\right)-5-(3n-5) équivaut successivement à :
    un+1un=3n+353n+5u_{n+1} -u_{n} =3n+3-5-3n+5
    un+1un=3u_{n+1} -u_{n} =3

    Comme un+1un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
    Question 2

    un=2n+7u_{n} =-2n+7

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
  • Comme un=2n+7u_{n} =-2n+7 alors un+1=2(n+1)+7u_{n+1} =-2\left(n+1\right)+7
    Ainsi :
    un+1un=2(n+1)+7(2n+7)u_{n+1} -u_{n} =-2\left(n+1\right)+7-(-2n+7) équivaut successivement à :
    un+1un=22n+7+2n7u_{n+1} -u_{n} =-2-2n+7+2n-7
    un+1un=2u_{n+1} -u_{n} =-2

    Comme un+1un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    Question 3

    un=2n2+4u_{n} =2n^{2}+4

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
  • Comme un=2n2+4u_{n} =2n^{2}+4 alors un+1=2(n+1)2+4u_{n+1} =2\left(n+1\right)^{2}+4
    Ainsi :
    un+1un=2(n+1)2+4(2n2+4)u_{n+1} -u_{n} =2\left(n+1\right)^{2}+4-(2n^{2}+4) équivaut successivement à :
    un+1un=2(n2+2n+1)+42n24u_{n+1} -u_{n} =2\left(n^{2} +2n+1\right)+4-2n^{2} -4
    un+1un=2n2+4n+2+42n24u_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +4n+2+4-2n^{2} -4
    un+1un=4n+2u_{n+1} -u_{n} =4n+2

    Or nn est un entier naturel, donc n0n\ge 0. Ainsi 4n+2>04n+2>0.
    Comme un+1un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
    Question 4

    un=12n+3u_{n} =\frac{1}{2n+3}

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
  • Comme un=12n+3u_{n} =\frac{1}{2n+3} alors un+1=12(n+1)+3u_{n+1} =\frac{1}{2(n+1)+3}
    Ainsi :
    un+1un=12(n+1)+312n+3u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{2(n+1)+3}-\frac{1}{2n+3} équivaut successivement à :
    un+1un=12n+512n+3u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+3} . Il nous faut maintenant tout mettre au même dénominateur.
    un+1un=1×(2n+3)(2n+5)(2n+3)1×(2n+5)(2n+5)(2n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{1\times \left(2n+3\right)}{\left(2n+5\right)\left(2n+3\right)} -\frac{1\times \left(2n+5\right)}{\left(2n+5\right)\left(2n+3\right)}
    un+1un=2n+3(2n+5)(2n+5)(2n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n+3-\left(2n+5\right)}{\left(2n+5\right)\left(2n+3\right)}
    un+1un=2n+32n5(2n+5)(2n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n+3-2n-5}{\left(2n+5\right)\left(2n+3\right)}
    un+1un=2(2n+5)(2n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-2}{\left(2n+5\right)\left(2n+3\right)}

    Or nn est un entier naturel, donc n0n\ge 0. Ainsi 2n+5>02n+5>0 et 2n+3>02n+3>0. le numérateur 2-2 est strictement négatif .
    Ainsi : un+1un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    Question 5

    un=23nu_{n} =\frac{2}{3^{n} }

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } . Il faut s'assurer que un>0u_{n}>0.
  • Si un+1un>1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } >1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1un<1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } <1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1un=1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =1 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
  • Comme un=23nu_{n} =\frac{2}{3^{n} } alors un+1=23n+1u_{n+1} =\frac{2}{3^{n+1} }. De plus, on vérifie facilement que un>0u_{n} >0 car 2>02>0 et 3n>03^{n}>0.
    Il vient alors que :
    un+1un=(23n+1)(23n)\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\left(\frac{2}{3^{n+1} } \right)}{\left(\frac{2}{3^{n} } \right)} équivaut successivement à :
    un+1un=23n+1×3n2\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2}{3^{n+1} } \times \frac{3^{n} }{2} car (ab)(cd)=ab×dc\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{\left(\frac{c}{d} \right)} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
    un+1un=3n3n+1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{3^{n} }{3^{n+1} }
    un+1un=3nn1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =3^{n-n-1}
    un+1un=31\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =3^{-1}
    un+1un=13\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{1}{3}

    Comme un+1un<1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } <1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    Question 6

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=4un+1=un2n5\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {4} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n} -\sqrt{2n} -5} \end{array}\right.

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
  • Comme un+1=un2n5u_{n+1} =u_{n} -\sqrt{2n} -5 alors
    un+1un=2n5u_{n+1} -u_{n}= -\sqrt{2n} -5

    Or nn est un entier naturel , ainsi n0n\ge 0 donc 2n5<0-\sqrt{2n} -5<0.
    Ainsi : un+1un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.