Épreuve d'enseignement de spécialité Session Jour 1 Métropole – La Réunion – 8 septembre 2026 - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\left]-3;+\infty\right[$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(\dfrac{u}{v} \right)^{'} =\dfrac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2x$$ et $$v\left(x\right)=x+3$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\dfrac{2\times \left(x+3\right)-2x\times 1}{\left(x+3\right)^{2}}$$
$$f'\left(x\right)=\dfrac{2x+6-2x}{\left(x+3\right)^{2}}$$
Ainsi : Pour tout réel $$x$$ de $$\left]-3;+\infty\right[$$, on a $$x+3>0$$ donc $$\left(x+3\right)^{2}>0$$. De plus $$6>0$$.
Il en résulte que pour tout réel $$x$$ de $$\left]-3;+\infty\right[$$, on a : $$f'\left(x\right)>0$$.
La fonction $$f$$ est donc strictement croissante sur $$\left]-3;+\infty\right[$$.

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} : 0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant 1$$.
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On a : $$u_{0}=1$$ et $$u_{1}=f\left(u_{0}\right)=f\left(1\right)=\dfrac{2\times 1}{1+3}=\dfrac{1}{2}$$.
Ainsi : $$0\leqslant u_{1}\leqslant u_{0}\leqslant 1$$ car $$0\leqslant \dfrac{1}{2}\leqslant 1\leqslant 1$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$0\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k}\leqslant 1$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$0\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant 1$$ .
Par hypothèse de récurrence, $$0\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k}\leqslant 1$$, or $$f:x\mapsto \dfrac{2x}{x+3}$$ est une fonction croissante sur $$\left[0;1\right]$$ (car $$\left[0;1\right]\subset \left]-3;+\infty\right[$$). L'ordre est donc conservé, ainsi :
$$f\left(0\right)\leqslant f\left(u_{k+1}\right)\leqslant f\left(u_{k}\right)\leqslant f\left(1\right)$$.
Comme $$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$$ alors $$f\left(u_{k+1}\right)=u_{k+2}$$ et $$f\left(u_{k}\right)=u_{k+1}$$. Il vient alors que :
$$f\left(0\right)\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant f\left(1\right)$$.
De plus : $$f\left(0\right)=\dfrac{2\times 0}{0+3}=0$$ et $$f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}$$.
Ainsi :
$$0\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\red{\leqslant 1}$$
Finalement : $$0\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant 1$$.
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$ :

D'après la question précédente, on sait que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant 1$$.

• Pour tout entier naturel $$n$$, $$u_{n+1}\leqslant u_{n}$$ : la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est décroissante.
• Pour tout entier naturel $$n$$, $$u_{n}\geqslant 0$$ : la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est minorée par $$0$$.

D'après le théorème de convergence des suites monotones, on peut affirmer que : Elle admet donc une limite finie que l'on note $$\ell$$.

Pour tout entier naturel $$n$$, on a $$v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}$$ ce qui nous permet d'écrire que $$v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}$$.
On rappelle que $$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)=\dfrac{2u_{n}}{u_{n}+3}$$.
$$v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}$$ équivaut successivement à :
$$v_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{2u_{n}}{u_{n}+3}}$$
$$v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+3}{2u_{n}}$$
$$v_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{2u_{n}}+\dfrac{3}{2u_{n}}$$
$$v_{n+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\times \dfrac{1}{u_{n}}$$
Or $$\dfrac{1}{u_{n}}=v_{n}$$, il vient alors que :

Pour tout entier naturel $$n$$, on a $$w_{n}=v_{n}+1$$ ce qui nous permet d'écrire que $$w_{n+1}=v_{n+1}+1$$.
$$w_{n+1}=v_{n+1}+1$$ équivaut successivement à :
$$w_{n+1}=\dfrac{3}{2}v_{n}+\dfrac{1}{2}+1$$
$$w_{n+1}=\dfrac{3}{2}v_{n}+\dfrac{3}{2}$$
$$w_{n+1}=\dfrac{3}{2}\left(v_{n}+1\right)$$. Nous avons factorisé par $$\dfrac{3}{2}$$.
Or $$v_{n}+1=w_{n}$$, ainsi :
La suite $$\left(w_{n}\right)$$ est donc une suite géométrique de raison $$q=\dfrac{3}{2}$$.
Déterminons le premier terme de la suite $$\red{\left(w_{n}\right)}$$
On sait que $$u_{0}=1$$ ainsi $$v_{0}=\dfrac{1}{u_{0}}=\dfrac{1}{1}=1$$ et $$w_{0}=v_{0}+1=1+1=2$$.
Finalement :

D'après la question précédente, la suite $$\left(w_{n}\right)$$ est géométrique de raison $$\dfrac{3}{2}$$ et de premier terme $$w_{0}=2$$.
Ainsi, pour tout entier naturel $$n$$ :
Or $$w_{n}=v_{n}+1$$, donc $$v_{n}=w_{n}-1$$ c'est-à-dire : $$v_{n}=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1$$.
De plus $$v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}$$ avec $$u_{n}\neq 0$$, donc $$u_{n}=\dfrac{1}{v_{n}}$$.
Il en résulte que, pour tout entier naturel $$n$$ :

Comme $$\dfrac{3}{2}>1$$ alors $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}=+\infty$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } 2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}=+\infty$$
$$\text{\red{Par somme :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } 2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1=+\infty$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$

La fonction doit s'arrêter dès que $$u_{n}\leqslant 10^{-3}$$ : la boucle $$\texttt{while}$$ doit donc continuer tant que $$u_{n}>10^{-3}$$.
À chaque passage dans la boucle, on augmente $$n$$ de $$1$$ puis on calcule le terme suivant grâce à la relation $$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)=\dfrac{2u_{n}}{u_{n}+3}$$.
Quand la boucle s'arrête, $$n$$ est le plus petit entier tel que $$u_{n}\leqslant 10^{-3}$$ : c'est la valeur que l'on renvoie.
En Python, $$10^{-3}$$ s'écrit $$\texttt{10**(-3)}$$ (ou $$\texttt{0.001}$$).

D'après la partie A, pour tout entier naturel $$n$$, $$u_{n}\geqslant 0$$ et $$u_{n}\neq 0$$ donc $$u_{n}>0$$ et $$2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1=\dfrac{1}{u_{n}}>0$$.
$$u_{n}\leqslant 10^{-3}$$ équivaut successivement à :
$$\dfrac{1}{2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1}\leqslant \dfrac{1}{1000}$$
$$2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1\geqslant 1000$$ (les deux membres sont strictement positifs et la fonction inverse est décroissante sur $$\left]0;+\infty\right[$$ : on change le sens de l'inégalité)
$$2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\geqslant 1001$$
$$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\geqslant \dfrac{1001}{2}$$
$$\ln\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\right)\geqslant \ln\left(\dfrac{1001}{2}\right)$$
$$n\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)\geqslant \ln\left(\dfrac{1001}{2}\right)$$
$$n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{1001}{2}\right)}{\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)}$$ (on divise par $$\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)>0$$ car $$\dfrac{3}{2}>1$$ : le sens de l'inégalité ne change pas)
Or $$\dfrac{\ln\left(\dfrac{1001}{2}\right)}{\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)}\approx 15,33$$. Le plus petit entier $$n$$ qui convient est donc $$n=16$$.
On peut le vérifier à la calculatrice : $$u_{15}\approx 0,001143>10^{-3}$$ et $$u_{16}\approx 0,000762\leqslant 10^{-3}$$.
Finalement :