Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un>0 Etape d’initialisationOn sait que
u0=1 ainsi
u0>0.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk>0 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1>0Par hypothèse de récurrence :
D’une part : uk>0 ainsi
uk+4>4>0D’autre part : uk>0 ainsi
4uk>0On peut donc alors conclure que
uk+44uk>0 autrement dit
uk+1>0Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :