Pour tout entier naturel
n, on rappelle que
un+1=53un+2vn ;
u0=16.
Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un>5 .
Etape d’initialisationOn sait que
u0=16 ainsi
u0>5.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk>5 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1>5Par hypothèse de récurrence :
uk>5 donc
3uk>15De plus, d'après les hypothèses
vk>5 et de ce fait
2vk>10Soient a, b, c et d des réels alors : - Si a>b et c>d alors a+c>b+d
3uk>15 et 2vk>10 alors 3uk+2vk>15+10D'où :
3uk+2vk>25 53uk+2vk>525 Il en résulte donc que :
Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :
- Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
- Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
On vient de démontrer que la suite
(un) était minorée par
5 car :
un>5. De plus, la suite
(un) est
décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite
(un) est convergente et admet donc une limite que l'on note
ℓ.