Epreuve d'enseignement de spécialité Session 13 septembre 2021 Exercice 2 - Exercice 1

pour tout entier naturel $$n$$, $$u_{n+1} =f\left(u_{n} \right)$$ avec $$f\left(x\right)=\frac{4x}{1+3x}$$. De plus, nous savons que $$u_{0} =\frac{1}{2}$$ .
Ainsi :
$$u_{0+1} =f\left(u_{0} \right)$$ équivaut successivement à :
$$u_{1} =f\left(u_{0} \right)$$
$$u_{1} =\frac{4\times\frac{1}{2}}{1+3\times\frac{1}{2}}$$
$$u_{1} =\frac{2}{1+\frac{3}{2}}$$
$$u_{1} =\frac{2}{\frac{2}{2}+\frac{3}{2}}$$
$$u_{1} =\frac{2}{\frac{5}{2}}$$
$$u_{1} =2\times \frac{2}{5}$$
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :\frac{1}{2} \le u_{n} \le u_{n+1} \le 2$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On a vu précédemment que $$u_{0} =\frac{1}{2}$$ et $$u_{1} =\frac{4}{5}$$.
Ainsi : $$\frac{1}{2} \le u_{0} \le u_{1} \le 2$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$\frac{1}{2} \le u_{k} \le u_{k+1} \le 2$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$\frac{1}{2} \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 2$$
Par hypothèse de récurrence,
$$\frac{1}{2} \le u_{k} \le u_{k+1} \le 2$$ , or $$f:x\mapsto \frac{4x}{1+3x}$$ une fonction croissante sur $$\left]-\frac{1}{3};+\infty\right[$$ et donc croissante en particulier sur $$\left[\frac{1}{2};2\right]$$. L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(\frac{1}{2}\right) \le f\left(u_{k}\right) \le f\left(u_{k+1}\right) \le f\left(2\right)$$ . Comme $$f\left(x\right)=\frac{4x}{1+3x}$$ alors : $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$ et $$f\left(u_{k+1} \right)=u_{k+2}$$ . Il vient alors que :
$$f\left(\frac{1}{2}\right) \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le f\left(2\right)$$ .
De plus : $$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4\times\frac{1}{2}}{1+3\times\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}$$ et $$f\left(2\right)=\frac{4\times2}{1+3\times2}=\frac{8}{7}$$
Ainsi :
$$\red{\frac{1}{2} \le}\frac{4}{5} \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le \frac{8}{7}\red{\le 2}$$
Finalement : $$\frac{1}{2} \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 2$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, $$\frac{1}{2} \le u_{n} \le u_{n+1} \le 2$$

On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ vérifie : $$\frac{1}{2} \le u_{n} \le u_{n+1} \le 2$$ .
Comme $$u_{n} \le u_{n+1}$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\text{\purple{croissante}}$$ .
De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\text{\purple{majorée}}$$ par $$2$$ c'est à dire $$u_{n} \le 2$$.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

D'après les hypothèses, nous savons que $$f$$ est dérivable et donc continue sur $$\left]-\frac{1}{3};+\infty\right[$$ .
De plus, $$u_{n+1} =f\left(u_{n} \right)$$ .
D'après la question précédente, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.
La fonction $$f:x\mapsto \frac{4x}{1+3x}$$ est continue sur $$\left]-\frac{1}{3};+\infty\right[$$.
D'après le théorème du point fixe, $$\ell$$ est solution de l'équation
$$f\left(\ell\right)=\ell$$ équivaut successivement à :
$$\frac{4\ell}{1+3\ell} =\ell$$
$$\frac{4\ell}{1+3\ell} =\frac{\ell}{1}$$
$$4\ell\times 1=\left(1+3\ell\right)\times \ell$$
$$4\ell=\ell+3\ell^{2}$$
$$4\ell-\ell-3\ell^{2} =0$$
$$-3l^{2} +3\ell=0$$
$$\ell\left(-3\ell+3\right)=0$$
Il s'agit d'une équation produit nul.

$$\text{\red{D'une part :}}$$ $$\ell=0$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ $$-3\ell+3=0$$ qui donne $$-3\ell=-3$$ . D'où : $$\ell=\frac{-3}{-3}=1$$

Comme $$\ell\ge \frac{1}{2}$$ , on ne retient que la solution $$\ell=1$$ . La suite $$\left(u_{n}\right)$$ converge vers $$1$$.

En utilisant la calculatrice, on obtient $$u_{7} \approx 0,99993$$ ce qui vérifie donc $$1−u_{7} < 10^{−4}$$
Le programme renverra dans ce cas $$n = 7$$.

Nous savons que $$f\left(x\right)=\frac{4x}{1+3x}$$ et $$u_{n+1} =f\left(u_{n} \right)$$.
On peut donc écrire que : $$u_{n+1} =f\left(u_{n} \right)=\frac{4u_{n}}{1+3u_{n}}$$ .
Maintenant, nous allons détailler le raisonnement pour répondre à la question .
$$v_{n} =\frac{u_{n} }{1-u_{n} }$$
$$v_{n+1} =\frac{u_{n+1} }{1-u_{n+1} }$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{4u_{n} }{1+3u_{n} } }{1-\frac{4u_{n} }{1+3u_{n} } }$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{4u_{n} }{1+3u_{n} } }{\frac{1+3u_{n} }{1+3u_{n} } -\frac{4u_{n} }{1+3u_{n} } }$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{4u_{n} }{1+3u_{n} } }{\frac{1+3u_{n} -4u_{n} }{1+3u_{n} } }$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{4u_{n} }{1+3u_{n} } }{\frac{1-u_{n} }{1+3u_{n} } }$$
$$v_{n+1} =\frac{4u_{n} }{1+3u_{n} } \times \frac{1+3u_{n} }{1-u_{n} }$$
$$v_{n+1} =\frac{4u_{n} }{\red{\cancel{1+3u_{n}}} } \times \frac{\red{\cancel{1+3u_{n}} }}{1-u_{n} }$$
$$v_{n+1} =\frac{4u_{n} }{1-u_{n} }$$
$$v_{n+1} =4\times \frac{u_{n} }{1-u_{n} }$$
D'où :
Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=4$$ et de premier terme $$v_{0} =\frac{u_{0} }{1-u_{0} }=\frac{\frac{1}{2} }{1-\frac{1}{2} }$$ donc $$v_{0} =1$$
Ainsi : que l'on va écrire $$v_{n} = 4^{n}$$

Pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$v_{n} =\frac{u_{n} }{1-u_{n} }$$
Nous allons exprimer $$u_{n}$$ en fonction de $$v_{n}$$ .
$$v_{n} =\frac{u_{n} }{1-u_{n} }$$
$$\frac{v_{n}}{1} =\frac{u_{n} }{1-u_{n} }$$
$$v_{n} \left(1-u_{n} \right)=u_{n} \times 1$$
$$v_{n} -v_{n} \times u_{n} =u_{n} \times 1$$
$$-v_{n} \times u_{n} -u_{n} =-v_{n}$$ . Nous allons factoriser le membre de gauche par $$u_{n}$$ .
$$u_{n} \left(-v_{n} -1\right)=-v_{n}$$
$$u_{n} =\frac{-v_{n} }{-v_{n} -1}$$
D'où :

D'après les questions précédentes, pour tout entier naturel $$n$$, on a démontré que : $$u_{n} =\frac{v_{n} }{v_{n} +1}$$ et $$v_{n} = 4^{n}$$ .
Cela donne :
$$u_{n} =\frac{4^{n} }{4^{n} +1}$$ . On va diviser le numérateur et le dénominateur par $${\color{blue}{4^{n}}}$$. Ce qui donne :
$$u_{n} =\frac{\frac{4^{n} }{{\color{blue}{4^{n}}}} }{\frac{4^{n} +1}{{\color{blue}{4^{n}}} } }$$
$$u_{n} =\frac{\frac{4^{n} }{4^{n} } }{\frac{4^{n} }{4^{n} } +\frac{1}{4^{n} } }$$
$$u_{n} =\frac{1}{1+\frac{1}{4^{n} } }$$
$$u_{n} =\frac{1}{1+\frac{1^{n} }{4^{n} } }$$ car nous savons que $$1^{n}=1$$ .
$$u_{n} =\frac{1}{1+\left(\frac{1}{4} \right)^{n} }$$
Finalement :

Comme $$-1<0,25<1$$ alors $$\lim\limits_{n\to +\infty } 0,25^{n} =0$$
Il en résulte donc que