Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un≥n+1Etape d’initialisationOn sait que
u0=3 ainsi
u0≥0+1.
La propriété
P0 est vraie
Etape d’heˊreˊditeˊSoit
k un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk≥k+1 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1≥k+1+1 que l'on écrit
uk+1≥k+2Par hypothèse de récurrence :uk≥k+1 , on multiplie de part et d'autre de l'inégalité par
55uk≥5(k+1)5uk≥5k+5 , on rajoute
−4k−3 (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche
uk+1)
5uk−4k−3≥5k+5−4k−3uk+1≥k+2Ainsi :
uk+1≥k+2, il vient alors que la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien
un≥n+1