Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:0<un≤4 Etape d’initialisationOn sait que
u0=4 ainsi
0<u0≤4.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
0<uk≤4 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
0<uk+1≤4Par hypothèse de récurrence :
0<uk≤4 , nous allons composer par la fonction
x↦x2 qui est croissante sur l'intervalle
[0;4] donc l'ordre est conservé.
02<(uk)2≤42 , nous allons maintenant multiplier tous les membres de l'inégalité par
51 (notre objectif est de faire apparaître
uk+1).
51×02<51×(uk)2≤51×42 . Il vient alors que :
0<uk+1≤516 Or :
0<uk+1≤516≤4 car
516=3,2d'où :
0<uk+1≤4 Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :
0<un≤4