Suites et récurrence

Epreuve d'enseignement de spécialité Amérique du Sud 26 septembre 2022 Jour 1 - Exercice 1

40 min
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Soit (un)\left(u_n\right) la suite définie par u0=4u_0 = 4 et, pour tout entier naturel nn, un+1=15(un)2u_{n+1}=\frac{1}{5}{\left(u_n\right)}^2 .
Question 1

Calculer u1u_1 et u2u_2.

Correction
  • u1=15(u0)2u1=15×42u1=165u_1=\frac{1}{5}{\left(u_0\right)}^2\Longleftrightarrow u_1=\frac{1}{5}\times 4^2\Longleftrightarrow u_1=\frac{16}{5}
  • u2=15(u1)2u2=15×(165)2u2=256125u_2=\frac{1}{5}{\left(u_1\right)}^2\Longleftrightarrow u_2=\frac{1}{5}\times {\left(\frac{16}{5}\right)}^2\Longleftrightarrow u_2=\frac{256}{125}
  • Question 2

    Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python. Cette fonction est nommée suite_u et prend pour paramètre l’entier naturel pp.
    Elle renvoie la valeur du terme de rang pp de la suite (un)\left(u_n\right).
    def suite_u(p) :
    U=U=\ldots \ldots
         for i range (1,)\left(1,\ldots\right)
    U=U=\ldots \ldots
    return UU

    Correction
    def suite_u(p) :
    U=4U={\color{blue}{4}}
         for i range (1,p+1)\left(1,{\color{blue}{p+1}}\right)
    U=UU/5U={\color{blue}{U*U/5 }}
    return UU

    Remarque : en appelant range (1,p+1)\left(1,p+1\right) cela signifie que ii commencera à 11 et devra s'arrêter à pp .
    Question 3

    Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, 0<un40 < u_n \le 4 .

    Correction
    Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:0<un4P_{n} :0 < u_n \le 4
    Etape d’initialisation\purple{\text{Etape d'initialisation}}
    On sait que u0=4u_{0} =4 ainsi 0<u040 < u_0 \le 4.
    La propriété P0P_{0} est vraie.
    Etape d’heˊreˊditeˊ\purple{\text{Etape d'hérédité}}
    On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire 0<uk40 < u_k \le 4 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire 0<uk+140 < u_{k+1} \le 4
    Par hypothèse de récurrence :
    0<uk40 < u_k \le 4 , nous allons composer par la fonction xx2x\mapsto x^2 qui est croissante sur l'intervalle [0;4]\left[0;4\right] donc l'ordre est conservé.
    02<(uk)2420^2 < \left(u_k\right)^2 \le 4^2 , nous allons maintenant multiplier tous les membres de l'inégalité par 15\frac{1}{5} (notre objectif est de faire apparaître uk+1u_{k+1} ).
    15×02<15×(uk)215×42\frac{1}{5}\times0^2 < \frac{1}{5}\times\left(u_k\right)^2 \le \frac{1}{5}\times4^2 . Il vient alors que :
    0<uk+11650 < u_{k+1} \le \frac{16}{5}
    Or :
    0<uk+116540 < u_{k+1} \le \frac{16}{5} \le {\color{blue}{4}} car 165=3,2\frac{16}{5} =3,2
    d'où : 0<uk+140 < u_{k+1} \le 4
    Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
    Conclusion\purple{\text{Conclusion}}
    Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, on a bien :
    0<un40 < u_n \le 4

    Question 4

    Démontrer que la suite (un)\left(u_n\right) est décroissante.

    Correction
    Etudions le signe de un+1unu_{n+1}-u_{n} .
    un+1un=15(un)2unu_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{5}{\left(u_n\right)}^2-u_{n}
    un+1un=un(15un1)u_{n+1}-u_{n}=u_{n}\left(\frac{1}{5}u_n-1\right) .
    D'après la question nous savons que :
    0<un40 < u_n \le 4
    0<15un450 < \frac{1}{5}u_n \le \frac{4}{5}
    1<15un115-1 < \frac{1}{5}u_n -1\le -\frac{1}{5}.
    Il en résulte donc que un>0u_{n}>0 et 15un1<0\frac{1}{5}u_n -1<0 .
    Finalement : un(15un1)<0u_{n}\left(\frac{1}{5}u_n-1\right)<0 .
    De ce fait : un+1un<0u_{n+1}-u_{n}<0 .
    La suite (un)\left(u_n\right) est bien décroissante.
    Question 5

    En déduire que la suite (un)\left(u_n\right) est convergente.

    Correction
    • Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
    • Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
    On vient de démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) était minorée par 00 car : un0u_{n} \ge 0 . De plus, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
    D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente et admet donc une limite que l'on note \ell .
    Question 6

    Justifier que la limite \ell de la suite (un)\left(u_n\right) vérifie l’égalité =152\ell=\frac{1}{5}\ell^2

    Correction
    On sait que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente et admet donc une limite que l'on note \ell.
    ainsi :
    limn+un=\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\ell et par unicité de la limite on a donc : limn+un+1=\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n+1} =\ell
    Or : un+1=15(un)2u_{n+1}=\frac{1}{5}{\left(u_n\right)}^2
    Par passage à la limite, nous peut alors écrire que :
    limn+un+1=limn+15(un)2\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{5}{\left(u_n\right)}^2
    Comme limn+un=\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\ell et limn+un+1=\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n+1} =\ell ( unicité de la limite ). D'après le théorème du point fixe, on a :
    =152\ell=\frac{1}{5}\ell^2
    Question 7

    En déduire la valeur de \ell .

    Correction
    Résolvons donc l'équation =152\ell=\frac{1}{5}\ell^2 .
    =152\ell=\frac{1}{5}\ell^2 équivaut successivement à :
    152=0\ell-\frac{1}{5}\ell^2=0
    15×=0\ell-\frac{1}{5}\ell\times \ell=0
    15×=0\ell-\frac{1}{5}\ell\times \ell=0
    (115)=0\ell\left(1-\frac{1}{5}\ell\right)=0
    On reconnait une équation produit nul.
    D'une part : =0\ell=0
    D'autre part : 115=01-\frac{1}{5}\ell=0 et on obtient =5\ell=5 .
    D'après la question 33, nous avons montré que 0<un40 < u_n \le 4 . Il en résulte donc que l'on ne peut par retenir la valeur =5\ell=5 .
    De plus, si 0<un40 < u_n \le 4 alors 040 \le \ell \le 4 . En effet, le passage à la limite va élargir les inégalités.
    De ce fait , la limite de la suite (un)\left(u_n\right) est alors
    =0\ell=0
    .
    Question 8

    Pour tout entier naturel nn, on pose vn=ln(un) v_n={\mathrm{ln} \left(u_n\right)\ } et wn=vnln(5) w_n=v_n-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ } .
    Montrer que, pour tout entier naturel nn, vn+1=2vnln(5) v_{n+1}=2v_n-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ } .

    Correction
    Soit : vn=ln(un) v_n={\mathrm{ln} \left(u_n\right)\ }
    On a :
    vn+1=ln(un+1) v_{n+1}={\mathrm{ln} \left(u_{n+1}\right)\ } . On rappelle que : un+1=15(un)2u_{n+1}=\frac{1}{5}{\left(u_n\right)}^2
    vn+1=ln(15(un)2) v_{n+1}={\mathrm{ln} \left(\frac{1}{5}{\left(u_n\right)}^2\right)\ }
      Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
    • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
    • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
    • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
    vn+1=ln(15) +ln((un)2) v_{n+1}={\mathrm{ln} \left(\frac{1}{5}\right)\ }+{\mathrm{ln} \left({\left(u_n\right)}^2\right)\ }
    vn+1=ln(5) +2ln(un) v_{n+1}=-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }+2{\mathrm{ln} \left(u_n\right)\ }
    Ainsi :
    vn+1=ln(5) +2vnv_{n+1}=-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }+2v_n

    Question 9

    Pour tout entier naturel nn, on pose vn=ln(un) v_n={\mathrm{ln} \left(u_n\right)\ } et wn=vnln(5) w_n=v_n-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ } .
    Montrer que la suite (wn)\left(w_n\right) est géométrique de raison 22 .

    Correction
    Pour tout entier naturel nn, on pose wn=vnln(5) w_n=v_n-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ } .
    wn+1=vn+1ln(5) w_{n+1}=v_{n+1}-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ } . Or vn+1=ln(5) +2vnv_{n+1}=-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }+2v_n, ainsi :
    wn+1=2vnln(5) ln(5) w_{n+1}=2v_n-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }
    wn+1=2vn2ln(5) w_{n+1}=2v_n-2{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }
    wn+1=2(vnln(5) )w_{n+1}=2\left(v_n-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }\right)
    Finalement :
    wn+1=2wnw_{n+1}=2w_n

    La suite (wn)\left(w_n\right) est géométrique de raison 22 et de premier terme w0=v0ln(5) =ln(u0) ln(5) w_0=v_0-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }={\mathrm{ln} \left(u_0\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }.
    Ainsi w0=ln(4) ln(5) =ln(45) w_0={\mathrm{ln} \left(4\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }={\mathrm{ln} \left(\frac{4}{5}\right)\ }
    Question 10

    Pour tout entier naturel nn, donner l’expression de wnw_n en fonction de nn et montrer que vn=ln(45) ×2n+ln(5) v_n={\mathrm{ln} \left(\frac{4}{5}\right)\ }\times 2^n+{\mathrm{ln} \left(5\right)\ } .

    Correction
    D'après la question 99, nous avons montré que la suite (wn)\left(w_n\right) est géométrique de raison 22 et de premier terme w0=ln(45) w_0={\mathrm{ln} \left(\frac{4}{5}\right)\ }.
    Exprimons alors wnw_n en fonction de nn .
    • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
      vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
    Ainsi :
    wn=ln(45) ×2nw_{n} ={\mathrm{ln} \left(\frac{4}{5}\right)\ }\times 2^{n}

    Nous pouvons maintenant exprimer vnv_n en fonction de nn .
    Comme wn=vnln(5) w_n=v_n-{\mathrm{ln} \left(5\right)\ } alors wn+ln(5) =vnw_n+{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }=v_n
    Il en résulte donc que :
    vn=ln(45) ×2n+ln(5) v_n={\mathrm{ln} \left(\frac{4}{5}\right)\ }\times 2^n+{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }
    Question 11

    Calculer limn+vn\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} et retrouver limn+un\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} .

    Correction
    D'une part :
    Commençons par calculer limn+vn=limn+ln(45) ×2n+ln(5) \lim\limits_{n\to +\infty } v_{n}=\lim\limits_{n\to +\infty }{\mathrm{ln} \left(\frac{4}{5}\right)\ }\times 2^n+{\mathrm{ln} \left(5\right)\ } .
    • Si 1<q<1-1<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
    • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
    Comme 2>12 >1 alors :
    limn+2n=+\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} =+\infty . Or : ln(45) <0{\mathrm{ln} \left(\frac{4}{5}\right)\ }<0
    limn+ln(45) ×2n=\lim\limits_{n\to +\infty } {\mathrm{ln} \left(\frac{4}{5}\right)\ }\times 2^{n} =-\infty
    limn+ln(45) ×2n+ln(5) =\lim\limits_{n\to +\infty } {\mathrm{ln} \left(\frac{4}{5}\right)\ }\times 2^n+{\mathrm{ln} \left(5\right)\ }=-\infty
    Ainsi :
    limn+vn=\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =-\infty

    D'autre part :
    Pour tout entier naturel nn, nous savons que vn=ln(un) v_n={\mathrm{ln} \left(u_n\right)\ } ainsi on peut également écrire que : un=evnu_n=e^{v_{n}} .
    Or : limn+vn=\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =-\infty
    par composition on a alors : limn+evn=0\lim\limits_{n\to +\infty } e^{v_{n}} =0 .
    Finalement :
    limn+un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0