La bonne reˊponse est bPour tout entier naturel
n, on a :
−1≤(−1)n≤1 équivaut successivement à :
4n2−1≤4n2+(−1)n≤4n2+1 , nous allons composer par la fonction inverse qui ne conserve pas l'ordre de l'inégalité
4n2−11≥4n2+(−1)n1≥4n2+11 . Nous réécrivons dans le sens conventionnel croissant, ce qui donne :
4n2+11≤4n2+(−1)n1≤4n2−11 , ensuite on multiplie par
n+1 qui est strictement positif
4n2+1n+1≤4n2+(−1)nn+1≤4n2−1n+1 , on rajoute
6 à chaque membre :
Ainsi :
4n2+1n+1+6≤4n2+(−1)nn+1+6≤4n2−1n+1+6 Dans un premier temps : Calculons
n→+∞lim4n2+1n+1+6.
n→+∞limn+1n→+∞lim4n2+1==+∞+∞} on obtient une forme indéterminée
∞∞ On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par n et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par n2n→+∞lim4n2+1n+1=n→+∞limn2(n24n2+1)n(nn+1)n→+∞lim4n2+1n+1=n→+∞limn2(n24n2+n21)n(nn+n1) n→+∞lim4n2+1n+1=n→+∞limn2(4+n21)n(1+n1)n→+∞lim4n2+1n+1=n→+∞limn(4+n21)1+n1 n→+∞lim1+n1n→+∞limn(4+n21)==1+∞} par quotient : n→+∞limn(4+n21)1+n1=0Ainsi :
n→+∞lim4n2+1n+1=0 et enfin
n→+∞lim4n2+1n+1+6=6Dans un deuxieˋme temps : On effectue la même démarche pour calculer
n→+∞lim4n2−1n+1+6 et on obtiendra
n→+∞lim4n2−1n+1+6=6Il vient alors que d'après le théorème des gendarmes
n→+∞limun=6