Suites et récurrence

Entraînement n°3 - Exercice 1

25 min
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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, vous devez bien sur justifier.
Question 1

limn+(8)×(78)n+7=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-8\right)\times \left(\frac{7}{8}\right)^{n} +7=
  • 77
  • 8-8
  • 00
  • -\infty

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<78<10<\frac{7}{8}<1 alors :
limn+(78)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{8}\right)^{n} =0
limn+(8)×(78)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-8\right)\times \left(\frac{7}{8}\right)^{n} =0
Ainsi :
limn+(8)×(78)n+7=7\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-8\right)\times \left(\frac{7}{8}\right)^{n} +7=7

Question 2

limn+3n2+4n5=\lim\limits_{n\to +\infty } -3n^{2} +4n-5=
  • Forme indéterminée
  • 5-5
  • ++\infty
  • -\infty

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
limn+3n2=limn+4n5=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -3n^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n-5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par addition, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n2\blue{n^{2} }.
Il vient alors que :
limn+3n2+4n5=limn+n2(3n2+4n5n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +4n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-3n^{2} +4n-5}{n^{2} } \right)
limn+3n2+4n5=limn+n2(3n2n2+4nn25n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +4n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-3n^{2} }{n^{2} } +\frac{4n}{n^{2} } -\frac{5}{n^{2} } \right)
limn+3n2+4n5=limn+n2(3+4n5n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +4n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-3+\frac{4}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)
limn+n2=+limn+3+4n5n2=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -3+\frac{4}{n} -\frac{5}{n^{2} } } & {=} & {-3} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}limn+n2(3+4n5n2)={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-3+\frac{4}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limn+3n2+4n5=\lim\limits_{n\to +\infty } -3n^{2} +4n-5=-\infty

Question 3

limn+4n2+3n53n+6={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} =
  • 43\frac{4}{3}
  • 56-\frac{5}{6}
  • ++\infty
  • -\infty

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
limn+4n2+3n5=+limn+3n+6=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n^{2} +3n-5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -3n+6} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
on va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
limn+4n2+3n53n+6=limn+n2(4n2+3n5n2)n(3n+6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{4n^{2} +3n-5}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-3n+6}{n} \right)}
limn+4n2+3n53n+6=limn+n2(4n2n2+3nn25n2)n(3nn+6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{4n^{2} }{n^{2} } +\frac{3n}{n^{2} } -\frac{5}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-3n}{n} +\frac{6}{n} \right)}
limn+4n2+3n53n+6=limn+n2(4+3n5n2)n(3+6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(4+\frac{3}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)}{n\left(-3+\frac{6}{n} \right)} . On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
limn+4n2+3n53n+6=limn+n(4+3n5n2)3+6n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(4+\frac{3}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)}{-3+\frac{6}{n} }
limn+n(4+3n5n2)=+limn+3+6n=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(4+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^{2} } \right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -3+\frac{6}{n} } & {=} & {-3} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} limn+n(4+3n5n2)3+6n={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(4+\frac{3}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)}{-3+\frac{6}{n} } =-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limn+4n2+3n53n+6={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} =-\infty
Question 4

limn+3n2+4(1)n={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 3n^{2}+4\left(-1\right)^{n} =
  • 44
  • -\infty
  • 4-4
  • ++\infty

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
Pour tout entier naturel nn, on sait que :
1(1)n1-1\le \left(-1\right)^{n} \le 1 équivaut successivement à :
44×(1)n4-4\le 4\times\left(-1\right)^{n} \le 4
4+3n24×(1)n+3n24+3n2-4+3n^{2}\le 4\times\left(-1\right)^{n}+3n^{2}\le 4+3n^{2}
4+3n2un4+3n2-4+3n^{2}\le u_{n} \le 4+3n^{2}
D’une part :\red{\text{D'une part :}} limn+4+3n2=+\lim\limits_{n\to +\infty } -4+3n^{2}=+\infty
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} limn+4+3n2=+\lim\limits_{n\to +\infty } 4+3n^{2}=+\infty
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de gauche, ce qui donne : 4+3n2un-4+3n^{2}\le u_{n}
Comme limn+4+3n2=+\lim\limits_{n\to +\infty } -4+3n^{2}=+\infty et un4+3n2u_{n} \ge -4+3n^{2} alors d'après le théorème de comparaison
limn+un=+\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty

Question 5

Soit une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) de raison r=3r=-3 et de premier terme u3=7u_{3} =7 alors u3+u4++un=u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}=
  • (n1)(3n+21)2\frac{\left(n-1\right)\left(-3n+21\right)}{2}
  • n(3n+25)2\frac{n\left(-3n+25\right)}{2}
  • (n2)(3n+23)2\frac{\left(n-2\right)\left(-3n+23\right)}{2}
  • (n+1)(3n+19)2\frac{\left(n+1\right)\left(-3n+19\right)}{2}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} c\red{c}
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u0+u1++un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=3r=-3 et de u3=7u_{3} =7. Nous allons donc exprimer (un)\left(u_{n} \right) en fonction de nn.
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=up+(np)×ru_{n} =u_{p}+\left(n-p\right)\times r: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
  • Ainsi :
    un=u3+(n3)×ru_{n} =u_{3} +\left(n-3\right)\times r ce qui donne ici un=7+(n3)×(3)u_{n} =7+\left(n-3\right)\times\left(-3\right) et après développement on obtient :
    un=3n+16u_{n} =-3n+16
    Nous voulons calculer : S=u3+u4++unS=u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n} .
    De plus, il y a en tout n3+1n-3+1 termes en partant de u3 u_{3} à un u_{n}. Autrement dit : n2n-2 termes.
    On applique la formule :
    u3+u4++un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    u3+u4++un=(n2)×(u3+un2)u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}=\left(n-2\right)\times \left(\frac{u_{3} +u_{n} }{2} \right)
    u3+u4++un=(n2)×(73n+162)u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}=\left(n-2\right)\times \left(\frac{7-3n+16}{2} \right)
    u3+u4++un=(n2)×(3n+232)u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}=\left(n-2\right)\times \left(\frac{-3n+23}{2} \right)
    Finalement :
    u3+u4++un=(n2)(3n+23)2u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n} =\frac{\left(n-2\right)\left(-3n+23\right)}{2}
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indicepetit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2++unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2++unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1++unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend np+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : np+1=nn-p+1=n. Nous avons donc np+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6++u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 225+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
  • Question 6

    Soit une suite (un)\left(u_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn par un=87nu_{n} =\frac{8}{7^{n} } . La suite (un)\left(u_{n} \right) est :
    • strictement croissante
    • strictement décroissante
    • constante
    • non monotone

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } . Il faut s'assurer que un>0u_{n}>0.
  • Si un+1un>1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } >1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1un<1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } <1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1un=1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =1 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
  • Comme un=87nu_{n} =\frac{8}{7^{n} } alors un+1=87n+1u_{n+1} =\frac{8}{7^{n+1} }. De plus, on vérifie facilement que un>0u_{n} >0 car 8>08>0 et 7n>07^{n}>0.
    Il vient alors que :
    un+1un=(87n+1)(87n)\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\left(\frac{8}{7^{n+1} } \right)}{\left(\frac{8}{7^{n} } \right)} équivaut successivement à :
    un+1un=87n+1×7n8\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{8}{7^{n+1} } \times \frac{7^{n} }{8} car (ab)(cd)=ab×dc\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{\left(\frac{c}{d} \right)} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
    un+1un=7n7n+1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{7^{n} }{7^{n+1} }
    un+1un=7nn1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =7^{n-n-1}
    un+1un=71\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =7^{-1}
    Finalement :
    un+1un=17\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{1}{7}

    Comme un+1un<1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } <1 : la suite (un)(u_{n}) est deˊcroissante.\purple{\text{décroissante.}}
    Question 7

    Soit la suite (un)(u_{n} ) définie pour tout entier naturel nn par un=6+n+14n2+(1)nu_{n} =6+\frac{n+1}{4n^{2} +(-1)^{n} } alors limn+un=\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =
    • 14\frac{1}{4}
    • 66
    • -\infty
    • ++\infty

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
    Pour tout entier naturel nn, on a :
    1(1)n1-1\le (-1)^{n} \le 1 équivaut successivement à :
    4n214n2+(1)n4n2+14n^{2} -1\le 4n^{2} +(-1)^{n} \le 4n^{2} +1 , nous allons composer par la fonction inverse qui ne conserve pas l'ordre de l'inégalité
    14n2114n2+(1)n14n2+1\frac{1}{4n^{2} -1} \ge \frac{1}{4n^{2} +(-1)^{n} } \ge \frac{1}{4n^{2} +1} . Nous réécrivons dans le sens conventionnel croissant, ce qui donne :
    14n2+114n2+(1)n14n21\frac{1}{4n^{2} +1} \le \frac{1}{4n^{2} +(-1)^{n} } \le \frac{1}{4n^{2} -1} , ensuite on multiplie par n+1n+1 qui est strictement positif
    n+14n2+1n+14n2+(1)nn+14n21\frac{n+1}{4n^{2} +1} \le \frac{n+1}{4n^{2} +(-1)^{n} } \le \frac{n+1}{4n^{2} -1} , on rajoute 66 à chaque membre :
    Ainsi :
    n+14n2+1+6n+14n2+(1)n+6n+14n21+6\frac{n+1}{4n^{2} +1} +6\le \frac{n+1}{4n^{2} +(-1)^{n} } +6\le \frac{n+1}{4n^{2} -1} +6


    Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}} Calculonslimn+n+14n2+1+6\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} +1} +6.
    limn+n+1=+limn+4n2+1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n^{2}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
     On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\red{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\red{n^{2}}
    limn+n+14n2+1=limn+n(n+1n)n2(4n2+1n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{4n^{2} +1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{4n^{2} +1}{n^{2} } \right)}
    limn+n+14n2+1=limn+n(nn+1n)n2(4n2n2+1n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{4n^{2} +1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{4n^{2} }{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)}
    limn+n+14n2+1=limn+n(1+1n)n2(4+1n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{4n^{2} +1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}{n^{2} \left(4+\frac{1}{n^{2} } \right)}
    limn+n+14n2+1=limn+1+1nn(4+1n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{4n^{2} +1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{1}{n} }{n \left(4+\frac{1}{n^{2} } \right)}
    limn+1+1n=1limn+n(4+1n2)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n}} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(4+\frac{1}{n^{2} } \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} limn+1+1nn(4+1n2)=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n}}{n\left(4+\frac{1}{n^{2} } \right)} =0
    Ainsi : limn+n+14n2+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} +1} =0 et enfin limn+n+14n2+1+6=6\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} +1} +6 =6
    Dans un deuxieˋme temps :\text{\blue{Dans un deuxième temps :}} On effectue la même démarche pour calculer limn+n+14n21+6\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} -1} +6 et on obtiendra limn+n+14n21+6=6\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} -1} +6=6
    Il vient alors que d'après le théorème des gendarmes
    limn+un=6\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =6

    Question 8

    limn+6n+17n9=\lim\limits_{n\to +\infty }\frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=
    • ++\infty
    • 67\frac{6}{7}
    • -\infty
    • 00

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
    • Si 1<q<1-1<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
    • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
    Comme 6>16>1 alors : limn+6n=+\lim\limits_{n\to +\infty } 6^{n} =+\infty
    Comme 7>17>1 alors : limn+7n=+\lim\limits_{n\to +\infty } 7^{n} =+\infty
    Ainsi : limn+6n+1=+limn+7n9=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6^{n} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 7^{n} -9} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
    Pour relever l'indétermination, on va donc factoriser le numérateur par 6n6^{n} et le dénominateur par 7n7^{n}.
    Il vient alors que :
    limn+6n+17n9=limn+6n×(6n+16n)7n×(7n97n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} \times \left(\frac{6^{n} +1}{6^{n} } \right)}{7^{n} \times \left(\frac{7^{n} -9}{7^{n} } \right)}
    limn+6n+17n9=limn+6n7n×(6n+16n)(7n97n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} }{7^{n} } \times \frac{\left(\frac{6^{n} +1}{6^{n} } \right)}{\left(\frac{7^{n} -9}{7^{n} } \right)}
    limn+6n+17n9=limn+(67)n×(6n+16n)(7n97n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{6}{7} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{6^{n} +1}{6^{n} } \right)}{\left(\frac{7^{n} -9}{7^{n} } \right)} car : anbn=(ab)n{\color{blue}{\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}}}
    limn+6n+17n9=limn+(67)n×(6n6n+16n)(7n7n97n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{6}{7} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{6^{n} }{6^{n} } +\frac{1}{6^{n} } \right)}{\left(\frac{7^{n} }{7^{n} } -\frac{9}{7^{n} } \right)}
    limn+6n+17n9=limn+(67)n×(1+16n)(197n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty }\left(\frac{6}{7} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{6^{n} } \right)}{\left(1-\frac{9}{7^{n} } \right)}
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • Comme 1<67<1-1<\frac{6}{7}<1 alors : limn+(67)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{6}{7} \right)^{n} =0
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • limn+1+16n=1limn+197n=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{6^{n} }} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{9}{7^{n} }} & {=} & {1} \end{array}\right\} donc par quotient : limn+(1+16n)(197n)=1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(1+\frac{1}{6^{n} } \right)}{\left(1-\frac{9}{7^{n} } \right)} = 1
    D'où : limn+(67)n×(1+16n)(197n)=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{6}{7} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{6^{n} } \right)}{\left(1-\frac{9}{7^{n} } \right)}=0
    Finalement :
    limn+6n+17n9=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=0

    Question 9

    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison 45\frac{4}{5} et de premier terme u0=6u_{0}=-6
    La limite de la somme des n+1n+1 termes de la suite (un)\left(u_{n} \right) est égale à :
    • 30-30
    • ++\infty
    • -\infty
    • 00

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
    La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1++un=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=45q=\frac{4}{5} et de premier terme u0=6u_{0} =-6.
    Pour avoir n+1n+1 termes, il nous faut partir de u0 u_{0} jusqu'à un u_{n}.
    On applique la formule :
    S=u0+u1++unS=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} équivaut successivement à :
    S=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)S=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    S=u0×(1qn+11q)S=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \right)
    S=6×(1(45)n+1145)S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} }{1-\frac{4}{5} } \right)
    S=6×(1(45)n+15545)S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} }{\frac{5}{5}-\frac{4}{5} } \right)
    S=6×(1(45)n+115)S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} }{\frac{1}{5} } \right)
    S=6×51×(1(45)n+1)S=-6\times \frac{5}{1} \times\left(1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} \right)
    Ainsi :
    S=30(1(45)n+1)S=-30\left(1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} \right)
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indicepetit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2++unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2++unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1++unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend np+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : np+1=nn-p+1=n. Nous avons donc np+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6++u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 225+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
  • limn+S=limn+30(1(45)n+1){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} S={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -30\left(1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} \right)
    • Si 1<q<1-1<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
    • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
    Comme 1<45<1-1<\frac{4}{5}<1 alors :
    limn+(45)n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} =0