Entraînement n°3 - Exercice 1

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{a}$$
Comme $$0<\frac{7}{8}<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{8}\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-8\right)\times \left(\frac{7}{8}\right)^{n} =0$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -3n^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n-5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par addition, nous avons une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{n^{2} }$$.
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +4n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-3n^{2} +4n-5}{n^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +4n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-3n^{2} }{n^{2} } +\frac{4n}{n^{2} } -\frac{5}{n^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +4n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-3+\frac{4}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -3+\frac{4}{n} -\frac{5}{n^{2} } } & {=} & {-3} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-3+\frac{4}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)=-\infty$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n^{2} +3n-5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -3n+6} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{4n^{2} +3n-5}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-3n+6}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{4n^{2} }{n^{2} } +\frac{3n}{n^{2} } -\frac{5}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-3n}{n} +\frac{6}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(4+\frac{3}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)}{n\left(-3+\frac{6}{n} \right)}$$ . On simplifie par $$n$$ au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n^{2} +3n-5}{-3n+6} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(4+\frac{3}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)}{-3+\frac{6}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(4+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^{2} } \right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -3+\frac{6}{n} } & {=} & {-3} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(4+\frac{3}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)}{-3+\frac{6}{n} } =-\infty$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \left(-1\right)^{n} \le 1$$ équivaut successivement à :
$$-4\le 4\times\left(-1\right)^{n} \le 4$$
$$-4+3n^{2}\le 4\times\left(-1\right)^{n}+3n^{2}\le 4+3n^{2}$$
$$-4+3n^{2}\le u_{n} \le 4+3n^{2}$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } -4+3n^{2}=+\infty$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } 4+3n^{2}=+\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de gauche, ce qui donne : $$-4+3n^{2}\le u_{n}$$
Comme $$\lim\limits_{n\to +\infty } -4+3n^{2}=+\infty$$ et $$u_{n} \ge -4+3n^{2}$$ alors d'après le théorème de comparaison

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{c}$$
On sait que $$\left(u_{n} \right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r=-3$$ et de $$u_{3} =7$$. Nous allons donc exprimer $$\left(u_{n} \right)$$ en fonction de $$n$$.
Ainsi :
$$u_{n} =u_{3} +\left(n-3\right)\times r$$ ce qui donne ici $$u_{n} =7+\left(n-3\right)\times\left(-3\right)$$ et après développement on obtient :
$$u_{n} =-3n+16$$
Nous voulons calculer : $$S=u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}$$.
De plus, il y a en tout $$n-3+1$$ termes en partant de $$u_{3}$$ à $$u_{n}$$. Autrement dit : $$n-2$$ termes.
On applique la formule :
$$u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$
$$u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}=\left(n-2\right)\times \left(\frac{u_{3} +u_{n} }{2} \right)$$
$$u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}=\left(n-2\right)\times \left(\frac{7-3n+16}{2} \right)$$
$$u_{3} +u_{4} +\ldots +u_{n}=\left(n-2\right)\times \left(\frac{-3n+23}{2} \right)$$
Finalement :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{b}$$
Comme $$u_{n} =\frac{8}{7^{n} }$$ alors $$u_{n+1} =\frac{8}{7^{n+1} }$$. De plus, on vérifie facilement que $$u_{n} >0$$ car $$8>0$$ et $$7^{n}>0$$.
Il vient alors que :
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\left(\frac{8}{7^{n+1} } \right)}{\left(\frac{8}{7^{n} } \right)}$$ équivaut successivement à :
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{8}{7^{n+1} } \times \frac{7^{n} }{8}$$ car $$\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{\left(\frac{c}{d} \right)} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{7^{n} }{7^{n+1} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =7^{n-n-1}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =7^{-1}$$
Finalement :
Comme $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } <1$$ : la suite $$(u_{n})$$ est $$\purple{\text{décroissante.}}$$

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{b}$$
Pour tout entier naturel $$n$$, on a :
$$-1\le (-1)^{n} \le 1$$ équivaut successivement à :
$$4n^{2} -1\le 4n^{2} +(-1)^{n} \le 4n^{2} +1$$ , nous allons composer par la fonction inverse qui ne conserve pas l'ordre de l'inégalité
$$\frac{1}{4n^{2} -1} \ge \frac{1}{4n^{2} +(-1)^{n} } \ge \frac{1}{4n^{2} +1}$$ . Nous réécrivons dans le sens conventionnel croissant, ce qui donne :
$$\frac{1}{4n^{2} +1} \le \frac{1}{4n^{2} +(-1)^{n} } \le \frac{1}{4n^{2} -1}$$ , ensuite on multiplie par $$n+1$$ qui est strictement positif
$$\frac{n+1}{4n^{2} +1} \le \frac{n+1}{4n^{2} +(-1)^{n} } \le \frac{n+1}{4n^{2} -1}$$ , on rajoute $$6$$ à chaque membre :
Ainsi :

$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$ Calculons$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} +1} +6$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n^{2}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n}$$ $$\red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n^{2}}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{4n^{2} +1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{4n^{2} +1}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{4n^{2} +1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{4n^{2} }{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{4n^{2} +1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}{n^{2} \left(4+\frac{1}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{4n^{2} +1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{1}{n} }{n \left(4+\frac{1}{n^{2} } \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n}} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(4+\frac{1}{n^{2} } \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n}}{n\left(4+\frac{1}{n^{2} } \right)} =0$$
Ainsi : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} +1} =0$$ et enfin $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} +1} +6 =6$$
$$\text{\blue{Dans un deuxième temps :}}$$ On effectue la même démarche pour calculer $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} -1} +6$$ et on obtiendra $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{4n^{2} -1} +6=6$$
Il vient alors que d'après le théorème des gendarmes

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
Comme $$6>1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 6^{n} =+\infty$$
Comme $$7>1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 7^{n} =+\infty$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6^{n} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 7^{n} -9} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever l'indétermination, on va donc factoriser le numérateur par $$6^{n}$$ et le dénominateur par $$7^{n}$$.
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} \times \left(\frac{6^{n} +1}{6^{n} } \right)}{7^{n} \times \left(\frac{7^{n} -9}{7^{n} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} }{7^{n} } \times \frac{\left(\frac{6^{n} +1}{6^{n} } \right)}{\left(\frac{7^{n} -9}{7^{n} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{6}{7} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{6^{n} +1}{6^{n} } \right)}{\left(\frac{7^{n} -9}{7^{n} } \right)}$$ car : $${\color{blue}{\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}}}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{6}{7} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{6^{n} }{6^{n} } +\frac{1}{6^{n} } \right)}{\left(\frac{7^{n} }{7^{n} } -\frac{9}{7^{n} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6^{n} +1}{7^{n} -9}=\lim\limits_{n\to +\infty }\left(\frac{6}{7} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{6^{n} } \right)}{\left(1-\frac{9}{7^{n} } \right)}$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$

Comme $$-1<\frac{6}{7}<1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{6}{7} \right)^{n} =0$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{6^{n} }} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{9}{7^{n} }} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ donc par quotient : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(1+\frac{1}{6^{n} } \right)}{\left(1-\frac{9}{7^{n} } \right)} = 1$$
D'où : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{6}{7} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{6^{n} } \right)}{\left(1-\frac{9}{7^{n} } \right)}=0$$
Finalement :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{a}$$
On sait que $$\left(u_{n} \right)$$ est une suite géométrique de raison $$q=\frac{4}{5}$$ et de premier terme $$u_{0} =-6$$.
Pour avoir $$n+1$$ termes, il nous faut partir de $$u_{0}$$ jusqu'à $$u_{n}$$.
On applique la formule :
$$S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}$$ équivaut successivement à :
$$S=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)$$
$$S=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \right)$$
$$S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} }{1-\frac{4}{5} } \right)$$
$$S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} }{\frac{5}{5}-\frac{4}{5} } \right)$$
$$S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} }{\frac{1}{5} } \right)$$
$$S=-6\times \frac{5}{1} \times\left(1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} \right)$$
Ainsi : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} S={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -30\left(1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} \right)$$
Comme $$-1<\frac{4}{5}<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} =0$$