La proposition 1 est fausse.Il nous suffit de donner un contre-exemple.
Soit
n un entier naturel tel que :
un=3−n+31Premieˋrement :Nous allons montrer tout d'abord que la suite
(un) est positive.
Nous avons :
un=3−n+31un=n+33(n+3)−n+31 un=n+33(n+3)−1 un=n+33n+9−1 un=n+33n+8 . Comme
n∈N alors
n≥0.
Ainsi :
3n+8>0 et
n+3>0 D'où :
un>0 La suite
(un) est positive.
Deuxieˋmement : Etudions la monotonie (variation) de la suite
(un) .
Comme
un=3−n+31 alors
un+1=3−n+41 Ainsi :
un+1−un=3−n+41−(3−n+31) un+1−un=3−n+41−3+n+31 un+1−un=−(n+4)×(n+3)1×(n+3)+(n+3)×(n+4)1×(n+4) un+1−un=(n+4)(n+3)−(n+3)+(n+3)(n+4)(n+4) un+1−un=(n+4)(n+3)−(n+3)+n+4 un+1−un=(n+4)(n+3)−n−3+n+4 un+1−un=(n+4)(n+3)1 un+1−un>0. La suite
(un) est croissante.
Finalement :n→+∞lim(3−n+31)=3 n→+∞limun=3 Il en résulte ici que
n→+∞limun=+∞ et la suite
(un) est convergente.