Suites et récurrence

Entraînement n°2 - Exercice 1

10 min
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Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Question 1

Proposition 1 :\blue{\text{Proposition 1 :}} Si (un)\left(u_n\right) est une suite positive et strictement croissante alors limn+un=+{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} u_{n} =+\infty

Correction
La proposition 1 est fausse.\red{\text{La proposition 1 est fausse.}}
Il nous suffit de donner un contre-exemple.
Soit nn un entier naturel tel que : un=31n+3u_{n} =3-\frac{1}{n+3}
Premieˋrement :\purple{\text{Premièrement :}}
Nous allons montrer tout d'abord que la suite (un)\left(u_n\right) est positive.
Nous avons :
un=31n+3u_{n} =3-\frac{1}{n+3}
un=3(n+3)n+31n+3u_{n} =\frac{3\left(n+3\right)}{n+3} -\frac{1}{n+3}
un=3(n+3)1n+3u_{n} =\frac{3\left(n+3\right)-1}{n+3}
un=3n+91n+3u_{n} =\frac{3n+9-1}{n+3}
un=3n+8n+3u_{n} =\frac{3n+8}{n+3} . Comme nNn\in \mathbb{N} alors n0n\ge 0.
Ainsi : 3n+8>03n+8>0 et n+3>0n+3>0
D'où : un>0u_{n} >0
La suite (un)\left(u_{n}\right) est positive.
Deuxieˋmement :\purple{\text{Deuxièmement :}} Etudions la monotonie (variation) de la suite (un)\left(u_n\right) .
Comme un=31n+3u_{n} =3-\frac{1}{n+3} alors un+1=31n+4u_{n+1} =3-\frac{1}{n+4}
Ainsi :
un+1un=31n+4(31n+3)u_{n+1} -u_{n} =3-\frac{1}{n+4} -\left(3-\frac{1}{n+3} \right)
un+1un=31n+43+1n+3u_{n+1} -u_{n} =3-\frac{1}{n+4} -3+\frac{1}{n+3}
un+1un=1×(n+3)(n+4)×(n+3)+1×(n+4)(n+3)×(n+4)u_{n+1} -u_{n} =-\frac{1\times \left(n+3\right)}{\left(n+4\right)\times \left(n+3\right)} +\frac{1\times \left(n+4\right)}{\left(n+3\right)\times \left(n+4\right)}
un+1un=(n+3)(n+4)(n+3)+(n+4)(n+3)(n+4)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-\left(n+3\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)} +\frac{\left(n+4\right)}{\left(n+3\right)\left(n+4\right)}
un+1un=(n+3)+n+4(n+4)(n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-\left(n+3\right)+n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}
un+1un=n3+n+4(n+4)(n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{-n-3+n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}
un+1un=1(n+4)(n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}
un+1un>0u_{n+1} -u_{n} >0. La suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limn+(31n+3)=3{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(3-\frac{1}{n+3} \right)=3
limn+un=3{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} u_{n} =3

Il en résulte ici que limn+un+{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} u_{n} \ne +\infty et la suite (un)\left(u_{n}\right) est convergente.
Question 2

Proposition 2 :\blue{\text{Proposition 2 :}} Si (un)\left(u_n\right) est une suite bornée alors (un)\left(u_n\right) est une suite convergente.

Correction
La proposition 2 est fausse.\red{\text{La proposition 2 est fausse.}}
Il nous suffit de donner un contre-exemple.
Soit nn un entier naturel tel que : un=(1)nu_{n} =\left(-1\right)^{n}
Nous savons que : 1(1)n1-1 \le \left(-1\right)^{n} \le 1. De ce fait, la suite (un)\left(u_n\right) est une suite bornée.
Mais la suite (un)\left(u_n\right) est une suite divergente.
En effet :
  • Si nn est pair alors : limn+(1)n=1{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(-1\right)^{n} =1
  • Si nn est impair alors : limn+(1)n=1{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(-1\right)^{n} =-1
  • La suite n'admet donc pas une limite finie unique\purple{\text{unique}}. De ce fait la suite (un)\left(u_n\right) est divergente.
    Question 3

    Soient (un)\left(u_n\right) et (vn)\left(v_n\right) deux suites .
    Proposition 3 :\blue{\text{Proposition 3 :}} Si limn+(un×vn)=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(u_{n} \times v_{n} \right)=0 alors limn+un=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} u_{n}=0 ou limn+vn=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} v_{n}=0

    Correction
    La proposition 3 est fausse.\red{\text{La proposition 3 est fausse.}}
    Il nous suffit de donner un contre-exemple.
    Soit nn un entier naturel.
    Soient les suites (un)\left(u_n\right) et (vn)\left(v_n\right) définies par un=1+(1)nu_{n} =1+\left(-1\right)^{n} et vn=1(1)nv_{n} =1-\left(-1\right)^{n}
    un×vn=(1+(1)n)(1(1)n)u_{n} \times v_{n} =\left(1+\left(-1\right)^{n} \right)\left(1-\left(-1\right)^{n} \right)
    un×vn=12((1)n)2u_{n} \times v_{n} =1^{2} -\left(\left(-1\right)^{n} \right)^{2}
    un×vn=1(1)2nu_{n} \times v_{n} =1-\left(-1\right)^{2n}
    un×vn=1((1)2)nu_{n} \times v_{n} =1-\left(\left(-1\right)^{2} \right)^{n}
    un×vn=1(1)nu_{n} \times v_{n} =1-\left(1\right)^{n}
    un×vn=11u_{n} \times v_{n} =1-1
    un×vn=0u_{n} \times v_{n} =0 ainsi limn+(un×vn)=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(u_{n} \times v_{n} \right)=0
    Or limn+un=limn+1+(1)n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} u_{n}={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }1+\left(-1\right)^{n}}
    D'après la question 22 nous avons vu que la suite (1)n \left(-1\right)^{n} n'admet pas de limite.
    De ce fait limn+un0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} u_{n} \ne0 .