Entraînement n°2 - Exercice 1

$$\red{\text{La proposition 1 est fausse.}}$$
Il nous suffit de donner un contre-exemple.
Soit $$n$$ un entier naturel tel que : $$u_{n} =3-\frac{1}{n+3}$$
$$\purple{\text{Premièrement :}}$$
Nous allons montrer tout d'abord que la suite $$\left(u_n\right)$$ est positive.
Nous avons :
$$u_{n} =3-\frac{1}{n+3}$$
$$u_{n} =\frac{3\left(n+3\right)}{n+3} -\frac{1}{n+3}$$
$$u_{n} =\frac{3\left(n+3\right)-1}{n+3}$$
$$u_{n} =\frac{3n+9-1}{n+3}$$
$$u_{n} =\frac{3n+8}{n+3}$$ . Comme $$n\in \mathbb{N}$$ alors $$n\ge 0$$.
Ainsi : $$3n+8>0$$ et $$n+3>0$$
D'où : $$u_{n} >0$$
La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est positive.
$$\purple{\text{Deuxièmement :}}$$ Etudions la monotonie (variation) de la suite $$\left(u_n\right)$$ .
Comme $$u_{n} =3-\frac{1}{n+3}$$ alors $$u_{n+1} =3-\frac{1}{n+4}$$
Ainsi :
$$u_{n+1} -u_{n} =3-\frac{1}{n+4} -\left(3-\frac{1}{n+3} \right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =3-\frac{1}{n+4} -3+\frac{1}{n+3}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-\frac{1\times \left(n+3\right)}{\left(n+4\right)\times \left(n+3\right)} +\frac{1\times \left(n+4\right)}{\left(n+3\right)\times \left(n+4\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-\left(n+3\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)} +\frac{\left(n+4\right)}{\left(n+3\right)\left(n+4\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-\left(n+3\right)+n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-n-3+n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}$$
$$u_{n+1} -u_{n} >0$$. La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est croissante.
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(3-\frac{1}{n+3} \right)=3$$

Il en résulte ici que $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} u_{n} \ne +\infty$$ et la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est convergente.

$$\red{\text{La proposition 2 est fausse.}}$$
Il nous suffit de donner un contre-exemple.
Soit $$n$$ un entier naturel tel que : $$u_{n} =\left(-1\right)^{n}$$
Nous savons que : $$-1 \le \left(-1\right)^{n} \le 1$$. De ce fait, la suite $$\left(u_n\right)$$ est une suite bornée.
Mais la suite $$\left(u_n\right)$$ est une suite divergente.
En effet :

Si $$n$$ est pair alors : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(-1\right)^{n} =1$$

Si $$n$$ est impair alors : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(-1\right)^{n} =-1$$

La suite n'admet donc pas une limite finie $$\purple{\text{unique}}$$. De ce fait la suite $$\left(u_n\right)$$ est divergente.

$$\red{\text{La proposition 3 est fausse.}}$$
Il nous suffit de donner un contre-exemple.
Soit $$n$$ un entier naturel.
Soient les suites $$\left(u_n\right)$$ et $$\left(v_n\right)$$ définies par $$u_{n} =1+\left(-1\right)^{n}$$ et $$v_{n} =1-\left(-1\right)^{n}$$
$$u_{n} \times v_{n} =\left(1+\left(-1\right)^{n} \right)\left(1-\left(-1\right)^{n} \right)$$
$$u_{n} \times v_{n} =1^{2} -\left(\left(-1\right)^{n} \right)^{2}$$
$$u_{n} \times v_{n} =1-\left(-1\right)^{2n}$$
$$u_{n} \times v_{n} =1-\left(\left(-1\right)^{2} \right)^{n}$$
$$u_{n} \times v_{n} =1-\left(1\right)^{n}$$
$$u_{n} \times v_{n} =1-1$$
$$u_{n} \times v_{n} =0$$ ainsi $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(u_{n} \times v_{n} \right)=0$$
Or $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} u_{n}={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }1+\left(-1\right)^{n}}$$
D'après la question $$2$$ nous avons vu que la suite $$\left(-1\right)^{n}$$ n'admet pas de limite.
De ce fait $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} u_{n} \ne0$$ .