Suites et récurrence

Entraînement n°1 - Exercice 1

30 min
50
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Question 1

Soit la suite récurrente suivante définie par : {u0=2 et u1=1un+2=3un+1+2un+n22\left\{\begin{array}{c} {u_{0} =2{\text{ et }}u_{1} =-1} \\ {u_{n+2} =-3u_{n+1} +2u_{n} +n^{2} -2} \end{array}\right.
u3=18u_{3} =-18.
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est vraie\purple{\text{La proposition est vraie}}
Nous allons commencer par calculer u2u_{2} et ensuite u3u_{3}.
Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
u0+2=3u0+1+2u0+(0)22u_{0+2} =-3u_{0+1} +2u_{0} +\left(0\right)^{2} -2
donc : u2=3u1+2u0+(0)22u_{2} =-3u_{1} +2u_{0} +\left(0\right)^{2} -2
D'où : u2=3×(1)+2×2+(0)22=5u_{2} =-3\times \left(-1\right)+2\times 2+\left(0\right)^{2} -2=5
Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
u1+2=3u1+1+2u1+(1)22u_{1+2} =-3u_{1+1} +2u_{1} +\left(1\right)^{2} -2
donc u3=3u2+2u1+(1)22u_{3} =-3u_{2} +2u_{1} +\left(1\right)^{2} -2
D'où : u3=3×5+2×(1)+(1)22=18u_{3} =-3\times 5+2\times \left(-1\right)+\left(1\right)^{2} -2=-18
Ainsi :
u3=18u_{3} =-18
Question 2

On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par u0=1u_{0} =1 et la relation de récurrence un+1=23un+2u_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +2 pour tout entier naturel nn.
La suite (un)\left(u_{n} \right) est majorée par 66.
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est vraie\purple{\text{La proposition est vraie}}
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:un6P_{n} :u_{n} \le 6 (c'est la traduction mathématique d'une suite majorée par 6)
Etape d’initialisation :\red{\text{Etape d'initialisation :}}
On sait que u0=1u_{0} =1 ainsi u06u_{0} \le 6.
La propriété P0P_{0} est vraie
Etape d’heˊreˊditeˊ :\red{\text{Etape d'hérédité :}}
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire uk6u_{k} \le 6 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire uk+16u_{k+1} \le 6
Par hypothèse de récurrence,
uk6u_{k} \le 6 , on multiplie par 23\frac{2}{3} de part et d'autre de l'inégalité
23uk23×6\frac{2}{3} u_{k} \le \frac{2}{3} \times 6
23uk4\frac{2}{3} u_{k} \le 4, on rajoute 22 de part et d'autre de l'inégalité
23uk+26\frac{2}{3} u_{k} +2\le 6
Il vient alors que :
uk+16u_{k+1} \le 6
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion :\red{\text{Conclusion :}}
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, on a bien un6u_{n} \le 6 .
Question 3

Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par u0=10u_{0} =10 et la relation de récurrence un+1=0,9un+1,2u_{n+1} =0,9u_{n} +1,2.
Pour tout entier naturel nn un=122×(0,9)nu_{n} =12-2\times \left(0,9\right)^{n} .
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est vraie\purple{\text{La proposition est vraie}}
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:un=122×(0,9)nP_{n} :u_{n} =12-2\times \left(0,9\right)^{n}
Etape d’initialisation :\red{\text{Etape d'initialisation :}}
On sait que u0=10u_{0} =10 et que u0=122×(0,9)0=122=10u_{0} =12-2\times \left(0,9\right)^{0} =12-2=10.
La propriété P0P_{0} est vraie
Etape d’heˊreˊditeˊ :\red{\text{Etape d'hérédité :}}
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire uk=122×(0,9)ku_{k} =12-2\times \left(0,9\right)^{k} et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire : uk+1=122×(0,9)k+1u_{k+1} =12-2\times \left(0,9\right)^{k+1}
Par hypothèse de récurrence,
uk=122×(0,9)ku_{k} =12-2\times \left(0,9\right)^{k} , on multiplie par 0,90,9 de part et d'autre de l'égalité
0,9×uk=0,9×(122×(0,9)k)0,9\times u_{k} =0,9\times \left(12-2\times \left(0,9\right)^{k} \right)
0,9×uk=0,9×122×(0,9)k×0.90,9\times u_{k} =0,9\times 12-2\times \left(0,9\right)^{k} \times 0.9
0,9×uk=10,82×(0,9)k+10,9\times u_{k} =10,8-2\times \left(0,9\right)^{k+1} , on additionne par 1,21,2 de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche uk+1u_{k+1} )
0,9×uk+1,2=10,82×(0,9)k+1+1,20,9\times u_{k} +1,2=10,8-2\times \left(0,9\right)^{k+1} +1,2
uk+1=122×(0,9)k+1u_{k+1} =12-2\times \left(0,9\right)^{k+1}
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion :\red{\text{Conclusion :}}
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, on a bien un=122×(0,9)nu_{n} =12-2\times \left(0,9\right)^{n}
Question 4

Soit la suite (un)(u_{n}) tel que un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_{n}) et u0=2u_{0}=2.
Le tableau de variation d'une fonction ff est le suivant :
La suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est fausse\purple{\text{La proposition est fausse}}
Commençons par calculer u1u_{1}
u1=f(u0)u_{1} =f\left(u_{0} \right) d'où u1=f(2)=1u_{1} =f\left(2\right)=1
On remarque que u1u0u_{1} \le u_{0} .
On conjecture que la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:un+1unP_{n} :u_{n+1} \le u_{n}
Etape d’initialisation :\red{\text{Etape d'initialisation :}}
On a vu précédemment que u1u0u_{1} \le u_{0} .
La propriété P0P_{0} est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊ :\red{\text{Etape d'hérédité :}}
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire : uk+1uku_{k+1} \le u_{k} et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire : uk+2uk+1u_{k+2} \le u_{k+1}
Par hypothèse de récurrence,
uk+1uku_{k+1} \le u_{k} , or ff est une fonction croissante sur [2;9]\left[2;9\right] , ainsi :
f(uk+1)f(uk)f\left(u_{k+1} \right)\le f\left(u_{k} \right) d'où :
uk+2uk+1u_{k+2} \le u_{k+1}

Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion :\red{\text{Conclusion :}}
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
Question 5

Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=2n+sin(2n+3n+1)5+3nu_{n} =\frac{2n+\sin \left(\frac{2n+3}{n+1} \right)}{5+3n} pour tout entier naturel nn.
La suite (un)\left(u_{n} \right) est divergente.
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est fausse\purple{\text{La proposition est fausse}}
Pour tout entier naturel nn non nul, on sait que :
1sin(2n+3n+1)1-1\le \sin \left(\frac{2n+3}{n+1} \right)\le 1 équivaut successivement à :
2n12n+sin(2n+3n+1)2n+12n-1\le 2n+\sin \left(\frac{2n+3}{n+1} \right)\le 2n+1 , on va ensuite diviser par 5+3n5+3n qui est strictement positif.
2n15+3n2n+sin(2n+3n+1)5+3n2n+15+3n\frac{2n-1}{5+3n} \le \frac{2n+\sin \left(\frac{2n+3}{n+1} \right)}{5+3n} \le \frac{2n+1}{5+3n}
2n15+3nun2n+15+3n\frac{2n-1}{5+3n} \le u_{n} \le \frac{2n+1}{5+3n}
D'une part : limn+2n15+3n=limn+2n3n=limn+23=23\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n-1}{5+3n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n}{3n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{3} =\frac{2}{3}
D'autre part : limn+2n+15+3n=limn+2n3n=limn+23=23\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n+1}{5+3n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n}{3n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{3} =\frac{2}{3}
D’apreˋs le theˊoreˋme des gendarmes\red{\text{D'après le théorème des gendarmes}}
limn+un=23\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\frac{2}{3}
.
La suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente.
Question 6

On considère les deux suites (un)\left(u_{n} \right) et (nn)\left(n_{n} \right) définies, pour tout entier naturel nn, par :
{u0=3un+1=un+vn2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {3} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\frac{u_{n} +v_{n} }{2} } \end{array}\right. et {v0=4vn+1=un+1+vn2\left\{\begin{array}{ccc} {v_{0} } & {=} & {4} \\ {v_{n+1} } & {=} & {\frac{u_{n+1} +v_{n} }{2} } \end{array}\right.
La suite (wn)\left(w_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn par wn=vnunw_{n} =v_{n} -u_{n} est une suite géométrique de raison 12\frac{1}{2}.
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est fausse\purple{\text{La proposition est fausse}}
On sait que wn=vnunw_{n} =v_{n} -u_{n} alors,
wn+1=vn+1un+1w_{n+1} =v_{n+1} -u_{n+1} équivaut successivement à :
wn+1=un+1+vn2un+vn2w_{n+1} =\frac{u_{n+1} +v_{n} }{2} -\frac{u_{n} +v_{n} }{2}
wn+1=un+1+vnunvn2w_{n+1} =\frac{u_{n+1} +v_{n} -u_{n} -v_{n} }{2}
wn+1=un+1un2w_{n+1} =\frac{u_{n+1} -u_{n} }{2}
wn+1=un+vn2un2w_{n+1} =\frac{\frac{u_{n} +v_{n} }{2} -u_{n} }{2}
wn+1=un+vn2un22w_{n+1} =\frac{\frac{u_{n} +v_{n} -2u_{n} }{2} }{2}
wn+1=un+vn2un4w_{n+1} =\frac{u_{n} +v_{n} -2u_{n} }{4}
wn+1=vnun4w_{n+1} =\frac{v_{n} -u_{n} }{4}
wn+1=wn4w_{n+1} =\frac{w_{n} }{4}
wn+1=14wnw_{n+1} =\frac{1}{4} w_{n}

La suite (wn)\left(w_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn par wn=vnunw_{n} =v_{n} -u_{n} est une suite géométrique de raison 14\frac{1}{4} .
Question 7

On considère l'algorithme ci-dessous :
V9V\leftarrow 9
S9S\leftarrow 9
Pour KK allant de 11 à NN
     V0,75×VV\leftarrow 0,75\times V
     SS+VS\leftarrow S+ V
Fin Pour

On affecte 33 à la variable NN. À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable SS vaut 26,426,4.
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est fausse\purple{\text{La proposition est fausse}}
Nous appliquons l'algorithme, il vient alors que :
9+0,75×9+0,752×9+0,753×924,69+0,75\times9+0,75^{2}\times9+0,75^{3}\times9\approx24,6
Question 8

1+13+(13)2+(13)3++(13)2017=32×(1(13)2018)1+\frac{1}{3} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{3} \right)^{2017} =\frac{3}{2}\times \left({\text 1}-\left(\frac{1}{3} \right)^{2018} \right)
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est vraie\purple{\text{La proposition est vraie}}
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1++un=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=13q=\frac{1}{3}
Il vient alors :
S=1+13+(13)2+(13)3++(13)2017S=1+\frac{1}{3} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{3} \right)^{2017}
S=(13)0+(13)1+(13)2+(13)3++(13)2017S=\left(\frac{1}{3} \right)^{0}+\left(\frac{1}{3} \right)^{1} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{3} \right)^{2017} car (13)0=1\left(\frac{1}{3} \right)^{0}=1
Nous partons de (13)0\left(\frac{1}{3} \right)^{0} qui est le premier terme à (13)2017\left(\frac{1}{3} \right)^{2017} . Nous avons donc 20182018 termes.
On applique la formule :
S=1×(1(13)2018)113S=1\times \frac{\left({\text 1}-\left(\frac{1}{3} \right)^{2018} \right)}{1-\frac{1}{3} }
S=1×(1(13)2018)23S=1\times \frac{\left({\text 1}-\left(\frac{1}{3} \right)^{2018} \right)}{\frac{2}{3} }
S=32×(1(13)2018)S=\frac{3}{2}\times \left({\text 1}-\left(\frac{1}{3} \right)^{2018} \right)

Question 9

limn+2×6n+5×4n3×6n+8×4n=58{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2\times 6^{n} +5\times 4^{n} }{3\times 6^{n} +8\times 4^{n} } =\frac{5}{8}
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est fausse\purple{\text{La proposition est fausse}}
  • Si 1<q<1-1<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 4>14>1 alors : limn+4n=+\lim\limits_{n\to +\infty } 4^{n} =+\infty
Comme 6>16>1 alors : limn+6n=+\lim\limits_{n\to +\infty } 6^{n} =+\infty
Ainsi : limn+2×6n+5×4n=+limn+3×6n+8×4n=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times 6^{n} +5\times 4^{n}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times 6^{n} +8\times 4^{n}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever l'indétermination, on va donc factoriser le numérateur et le dénominateur par 6n6^{n} .
Il vient alors que :
limn+2×6n+5×4n3×6n+8×4n=limn+6n(2×6n+5×4n6n)6n(3×6n+8×4n6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2\times 6^{n} +5\times 4^{n} }{3\times 6^{n} +8\times 4^{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6^{n} \left(\frac{2\times 6^{n} +5\times 4^{n} }{6^{n} } \right)}{6^{n} \left(\frac{3\times 6^{n} +8\times 4^{n} }{6^{n} } \right)}
limn+2×6n+5×4n3×6n+8×4n=limn+6n(2×6n6n+5×4n6n)6n(3×6n6n+8×4n6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2\times 6^{n} +5\times 4^{n} }{3\times 6^{n} +8\times 4^{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6^{n} \left(\frac{2\times 6^{n} }{6^{n} } +\frac{5\times 4^{n} }{6^{n} } \right)}{6^{n} \left(\frac{3\times 6^{n} }{6^{n} } +\frac{8\times 4^{n} }{6^{n} } \right)}
limn+2×6n+5×4n3×6n+8×4n=limn+(2×6n6n+5×4n6n)(3×6n6n+8×4n6n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2\times 6^{n} +5\times 4^{n} }{3\times 6^{n} +8\times 4^{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(2\times \frac{6^{n} }{6^{n} } +5\times \frac{4^{n} }{6^{n} } \right)}{\left(3\times \frac{6^{n} }{6^{n} } +8\times \frac{4^{n} }{6^{n} } \right)}
limn+2×6n+5×4n3×6n+8×4n=limn+(2+5×(46)n)(3+8×(46)n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2\times 6^{n} +5\times 4^{n} }{3\times 6^{n} +8\times 4^{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(2+5\times \left(\frac{4}{6} \right)^{n} \right)}{\left(3+8\times \left(\frac{4}{6} \right)^{n} \right)} car : anbn=(ab)n{\color{blue}{\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}}}
limn+2×6n+5×4n3×6n+8×4n=limn+(2+5×(23)n)(3+8×(23)n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2\times 6^{n} +5\times 4^{n} }{3\times 6^{n} +8\times 4^{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(2+5\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n} \right)}{\left(3+8\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n} \right)}
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
Comme 0<23<10<\frac{2}{3}<1 alors : limn+(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3} \right)^{n} =0
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
limn+2+5×(23)n=2limn+3+8×(23)n=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2+5\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n} } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3+8\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n}} & {=} & {3} \end{array}\right\} donc par quotient : limn+(2+5×(23)n)(3+8×(23)n)=23{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(2+5\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n} \right)}{\left(3+8\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n} \right)} = \frac{2}{3}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limn+2×6n+5×4n3×6n+8×4n=23{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2\times 6^{n} +5\times 4^{n} }{3\times 6^{n} +8\times 4^{n} } =\frac{2}{3}

Question 10

Pour tout entier naturel nn non nul, la suite (un)\left(u_n\right) définie par un=4nn!u_{n} =\frac{4^{n} }{n!} est décroissante.
  • vrai
  • faux

Correction
La proposition est fausse\purple{\text{La proposition est fausse}}
Il est impératif de vérifier tout d'abord que un>0u_{n}>0 pour pouvoir utiliser cette méthode.
  • Si un+1un1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1un1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \le 1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1un=1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =1 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
Pour tout entier naturel nn non nul, on vérifie aisément que 4n>04^{n}>0 et n>0n>0 ainsi un>0u_n>0.
Calculons alors un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} }
Il vient alors que :
un+1un=4n+1(n+1)!4nn!\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\frac{4^{n+1} }{\left(n+1\right)!} }{\frac{4^{n} }{n!} }
un+1un=4n+1(n+1)!×n!4n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{4^{n+1} }{\left(n+1\right)!} \times \frac{n!}{4^{n} }
un+1un=4n+14n×n!(n+1)!\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{4^{n+1} }{4^{n} } \times \frac{n!}{\left(n+1\right)!}
un+1un=4n×44n×n!n!×(n+1)\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{4^{n} \times 4}{4^{n} } \times \frac{n!}{n!\times \left(n+1\right)}
un+1un=4×1n+1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =4\times \frac{1}{n+1}
un+1un=4n+1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{4}{n+1}
Cherchons à savoir à partir de quel rang nn, l'expression 4n+11\frac{4}{n+1} \le 1 .
En effet si 4n+11\frac{4}{n+1} \le 1 alors un1u_n \le 1 et donc la suite (un)\left(u_n\right) serait décroissante.
D'où :
4n+11\frac{4}{n+1} \le 1
4n+14\le n+1
41n4-1\le n
41n4-1\le n
3n3\le n

Il en résulte donc que pour tout entier naturel n3n\ge 3, la suite (un)\left(u_n\right) est décroissante.