Suites et récurrence

Calculer la somme des termes d'une suite géométrique - Exercice 1

15 min
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Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique.
Question 1


Soit une suite géométrique (un)\left(u_{n} \right) de raison q=3q=3 et de u0=2u_{0} =2. Calculer : S=u0+u1++u8S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8} .

Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1++un=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=3q=3 et de u0=2u_{0} =2.
De plus, il y a en tout 99 termes en partant de u0 u_{0} à u8 u_{8}.
On applique la formule :
u0+u1++u8=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
u0+u1++u8=u0×(1q91q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{9} }{1-q} \right)
u0+u1++u8=2×(13913)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=2 \times \left(\frac{1-3^{9} }{1-3} \right)
u0+u1++u8=19682u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=19682
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indicepetit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2++unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2++unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1++unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend np+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : np+1=nn-p+1=n. Nous avons donc np+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6++u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 225+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
  • Question 2

    Soit une suite géométrique (un)\left(u_{n} \right) de raison q=2q=-2 et de u7=1100u_{7} =\frac{1}{100}. Calculer : S=u7+u8++u22S=u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22} .

    Correction
    La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1++un=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=2q=-2 et de u0=1100u_{0} =\frac{1}{100}.
    De plus, il y a en tout 1616 termes en partant de u7 u_{7} à u22 u_{22}.
    On applique la formule :
    u7+u8++u22=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    u7+u8++u22=u7×(1q161q)u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22}=u_{7} \times \left(\frac{1-q^{16} }{1-q} \right)
    u7+u8++u22=1100×(1(2)161(2))u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22}=\frac{1}{100} \times \left(\frac{1-\left(-2\right)^{16} }{1-\left(-2\right)} \right)
    u7+u8++u22=436920u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22}=-\frac{4369}{20}
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indicepetit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2++unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2++unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1++unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend np+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : np+1=nn-p+1=n. Nous avons donc np+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6++u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 225+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
  • Question 3

    Calculer Sn=1+13+19+127++13nS_{n} =1+\frac{1}{3} +\frac{1}{9} +\frac{1}{27} +\ldots +\frac{1}{3^{n} }

    Correction
    Nous savons que :
    Sn=1+13+19+127++13nS_{n} =1+\frac{1}{3} +\frac{1}{9} +\frac{1}{27} +\ldots +\frac{1}{3^{n} } mais nous pouvons l'écrire comme suit :
    Sn=(13)0+(13)1+(13)2+(13)3++(13)nS_{n} =\left(\frac{1}{3} \right)^{0} +\left(\frac{1}{3} \right)^{1} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{3} \right)^{n}
    On reconnait donc la somme des termes d'une suite arithmétique de raison q=13q=\frac{1}{3} et de premier terme (13)0=1\left(\frac{1}{3} \right)^{0}=1.
    Ainsi :
    Sn=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)S_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    Sn=1×(1(13)n+1113)S_{n} =1\times \left(\frac{1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} }{1-\frac{1}{3} } \right) . Il y a n+1n+1 termes car nous calculons de (13)0\left(\frac{1}{3} \right)^{0} à (13)n\left(\frac{1}{3} \right)^{n} .
    Sn=1(13)n+123S_{n} =\frac{1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} }{\frac{2}{3} }
    Ainsi :
    Sn=32×(1(13)n+1)S_{n} =\frac{3}{2} \times \left(1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} \right)
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indicepetit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2++unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2++unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1++unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend np+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : np+1=nn-p+1=n. Nous avons donc np+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6++u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 225+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.