Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique - Exercice 1

On sait que $$\left(u_{n} \right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r=2$$ et de $$u_{0} =4$$. Nous allons donc exprimer $$\left(u_{n} \right)$$ en fonction de $$n$$. Ainsi :
$$u_{n} =u_{0} +n\times r$$ ce qui donne ici $$u_{n} =4+2n$$.

Nous voulons calculer : $$S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}$$. Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire $$u_{10} =4+2\times 10=24$$
De plus, il y a en tout $$11$$ termes en partant de $$u_{0}$$ à $$u_{10}$$.
On applique la formule :
$$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$
$$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=11\times \left(\frac{u_{0} +u_{10} }{2} \right)$$
$$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=11\times \left(\frac{4+24}{2} \right)$$
$$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=154$$

On sait que $$\left(u_{n} \right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r=7$$ et de $$u_{1} =-15$$. Nous allons donc exprimer $$\left(u_{n} \right)$$ en fonction de $$n$$. Ainsi :
$$u_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r$$ ce qui donne ici $$u_{n} =-15+\left(n-1\right)\times 7=7n-22$$.
Nous voulons calculer : $$S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}$$. Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire $$u_{15} =7\times15-22=83$$
De plus, il y a en tout $$15$$ termes en partant de $$u_{1}$$ à $$u_{15}$$.
On applique la formule :
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=15\times \left(\frac{u_{1} +u_{15} }{2} \right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=15\times \left(\frac{-15+83}{2} \right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=510$$

On sait que $$\left(u_{n} \right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r=3$$ et de $$u_{1} =-1$$. Nous allons donc exprimer $$\left(u_{n} \right)$$ en fonction de $$n$$. Ainsi :
$$u_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r$$ ce qui donne ici $$u_{n} =-1+\left(n-1\right)\times 3=3n-4$$.
Nous voulons calculer : $$S_n=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}$$.
De plus, il y a en tout $$n$$ termes en partant de $$u_{1}$$ à $$u_{n}$$.
On applique la formule :
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=n\times \left(\frac{u_{1} +u_{n} }{2} \right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=n\times \left(\frac{-1+3n-4}{2} \right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=n\times \left(\frac{3n-5}{2} \right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=\frac{n\left(3n-5\right)}{2}$$
Finalement : $$S_n=\frac{n\left(3n-5\right)}{2}$$

On sait que $$\left(u_{n} \right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r=6$$ et de $$u_{1} =4$$. Nous allons donc exprimer $$\left(u_{n} \right)$$ en fonction de $$n$$. Ainsi :
$$u_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r$$ ce qui donne ici $$u_{n} =4+\left(n-1\right)\times 6=6n-2$$.
Nous voulons calculer : $$S_n=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}$$.
De plus, il y a en tout $$n$$ termes en partant de $$u_{1}$$ à $$u_{n}$$.
On applique la formule :
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=n\times \left(\frac{u_{1} +u_{n} }{2} \right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=n\times \left(\frac{4+6n-2}{2} \right)$$
$$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=n\times \left(\frac{6n+2}{2} \right)$$
Finalement : $$S_n=n\left(3n+1\right)$$