Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique

On sait que $\left(u_{n} \right)$ est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de $u_{0} =4$. Nous allons donc exprimer $\left(u_{n} \right)$ en fonction de $n$. Ainsi :
$u_{n} =u_{0} +n\times r$ ce qui donne ici $u_{n} =4+2n$.

Nous voulons calculer : $S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}$. Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire $u_{10} =4+2\times 10=24$
De plus, il y a en tout $11$ termes en partant de $u_{0}$ à $u_{10}$.
On applique la formule :
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=11\times \left(\frac{u_{0} +u_{10} }{2} \right)$
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=11\times \left(\frac{4+24}{2} \right)$
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=154$

On sait que $\left(u_{n} \right)$ est une suite arithmétique de raison $r=7$ et de $u_{1} =-15$. Nous allons donc exprimer $\left(u_{n} \right)$ en fonction de $n$. Ainsi :
$u_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r$ ce qui donne ici $u_{n} =-15+\left(n-1\right)\times 7=7n-22$.
Nous voulons calculer : $S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}$. Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire $u_{15} =7\times15-22=83$
De plus, il y a en tout $15$ termes en partant de $u_{1}$ à $u_{15}$.
On applique la formule :
$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$
$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=15\times \left(\frac{u_{1} +u_{15} }{2} \right)$
$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=15\times \left(\frac{-15+83}{2} \right)$
$u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=510$