Suites et récurrence

Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique - Exercice 1

10 min
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Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.
Question 1

Soit une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) de raison r=2r=2 et de u0=4u_{0} =4. Calculer : S=u0+u1+…+u10S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10} .

Correction
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=2r=2 et de u0=4u_{0} =4. Nous allons donc exprimer (un)\left(u_{n} \right) en fonction de nn. Ainsi :
un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r ce qui donne ici un=4+2nu_{n} =4+2n.

Nous voulons calculer : S=u0+u1+…+u10S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10} . Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire u10=4+2×10=24u_{10} =4+2\times 10=24
De plus, il y a en tout 1111 termes en partant de u0 u_{0} à u10 u_{10}.
On applique la formule :
u0+u1+…+u10=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
u0+u1+…+u10=11×(u0+u102)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=11\times \left(\frac{u_{0} +u_{10} }{2} \right)
u0+u1+…+u10=11×(4+242)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=11\times \left(\frac{4+24}{2} \right)
u0+u1+…+u10=154u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=154
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • Question 2

    Soit une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) de raison r=7r=7 et de u1=−15u_{1} =-15. Calculer : S=u1+u2+…+u15S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15} .

    Correction
    La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=7r=7 et de u1=−15u_{1} =-15. Nous allons donc exprimer (un)\left(u_{n} \right) en fonction de nn. Ainsi :
    un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r ce qui donne ici un=−15+(n−1)×7=7n−22u_{n} =-15+\left(n-1\right)\times 7=7n-22.
    Nous voulons calculer : S=u1+u2+…+u15S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15} . Il nous faut donc le dernier terme de la suite c'est à dire u15=7×15−22=83u_{15} =7\times15-22=83
    De plus, il y a en tout 1515 termes en partant de u1 u_{1} à u15 u_{15}.
    On applique la formule :
    u1+u2+…+u15=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    u1+u2+…+u15=15×(u1+u152)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=15\times \left(\frac{u_{1} +u_{15} }{2} \right)
    u1+u2+…+u15=15×(−15+832)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=15\times \left(\frac{-15+83}{2} \right)
    u1+u2+…+u15=510u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=510
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • Question 3

    Soit une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) de raison r=3r=3 et de u1=−1u_{1} =-1. Calculer : Sn=u1+u2+…+unS_n=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} .

    Correction
    La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=3r=3 et de u1=−1u_{1} =-1. Nous allons donc exprimer (un)\left(u_{n} \right) en fonction de nn. Ainsi :
    un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r ce qui donne ici un=−1+(n−1)×3=3n−4u_{n} =-1+\left(n-1\right)\times 3=3n-4.
    Nous voulons calculer : Sn=u1+u2+…+unS_n=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} .
    De plus, il y a en tout nn termes en partant de u1 u_{1} à un u_{n}.
    On applique la formule :
    u1+u2+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    u1+u2+…+un=n×(u1+un2)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=n\times \left(\frac{u_{1} +u_{n} }{2} \right)
    u1+u2+…+un=n×(−1+3n−42)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=n\times \left(\frac{-1+3n-4}{2} \right)
    u1+u2+…+un=n×(3n−52)u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=n\times \left(\frac{3n-5}{2} \right)
    u1+u2+…+un=n(3n−5)2u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}=\frac{n\left(3n-5\right)}{2}
    Finalement : Sn=n(3n−5)2S_n=\frac{n\left(3n-5\right)}{2}
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.