🔴  Lives #BAC2024

À partir du 12 mai, révise le bac avec nous sur YouTube tous les soirs à 19h30 ! Découvrir la chaîne →

Suites et récurrence

Calculer lim⁡n→+∞a×qn{\color{blue}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}}} et lim⁡n→+∞a×qn+b{\color{red}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}+b}} - Exercice 5

5 min
20
Question 1

Soit nn un entier naturel. La suite (un)\left(u_n\right) est une suite géométrique de premier terme u0=−5u_0=-5 et de raison 56\frac{5}{6} .
Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_n\right) .

Correction
La suite géométrique (un)\left(u_n\right) de premier terme u0=−5u_0=-5 et de raison 56\frac{5}{6} .
Nous allons donner l'expression de unu_n en fonction de nn afin de calculer la limite de la suite (un)\left(u_n\right) .
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
un=−5×(56)nu_{n} =-5\times \left(\frac{5}{6}\right)^{n}
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<56<1-1<\frac{5}{6}<1 alors :
lim⁡n→+∞(56)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{6}\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞−5×(56)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } -5\times \left(\frac{5}{6}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0

Question 2

Soit nn un entier naturel. La suite (un)\left(u_n\right) est une suite géométrique de premier terme u0=−3u_0=-3 et de raison 73\frac{7}{3} .
Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_n\right) .

Correction
La suite géométrique (un)\left(u_n\right) de premier terme u0=−3u_0=-3 et de raison 73\frac{7}{3} .
Nous allons donner l'expression de unu_n en fonction de nn afin de calculer la limite de la suite (un)\left(u_n\right) .
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
un=−3×(73)nu_{n} =-3\times \left(\frac{7}{3}\right)^{n}
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 73>1\frac{7}{3}>1 alors :
lim⁡n→+∞(73)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{3}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞−3×(73)n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times \left(\frac{7}{3}\right)^{n} =-\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty