Suites et récurrence

Calculer lim⁡n→+∞a×qn{\color{blue}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}}} et lim⁡n→+∞a×qn+b{\color{red}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}+b}} - Exercice 3

10 min
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Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=8×(52)nu_{n} =8\times \left(\frac{\sqrt{5} }{2} \right)^{n}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 52>1\frac{\sqrt{5} }{2} >1 alors :
lim⁡n→+∞(52)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{\sqrt{5} }{2}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞8×(52)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 8\times\left(\frac{\sqrt{5} }{2}\right)^{n} =+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty

Question 2

un=−2×enu_{n} =-2\times e^{n}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme e>1e >1 alors :
lim⁡n→+∞en=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } e^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞−2×en=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -2\times e^{n} =-\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty

Question 3

un=58nu_{n} =\frac{5}{8^{n} }

Correction
Il va falloir écrire différemment la suite (un)\left(u_{n}\right) afin de pouvoir calculer sa limite.
  • anbn=(ab)n\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}
un=58nu_{n} =\frac{5}{8^{n} }
un=5×18nu_{n} =5\times \frac{1}{8^{n} }
un=5×1n8nu_{n} =5\times\frac{1^{n} }{8^{n} }
un=5×(18)nu_{n} =5\times \left(\frac{1}{8} \right)^{n}
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<18<1-1<\frac{1}{8}<1 alors :
lim⁡n→+∞(18)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{8}\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞5×(18)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 5\times\left(\frac{1}{8}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
Question 4

un=7+0,6n3−4nu_{n} =\frac{7+0,6^{n} }{3-\frac{4}{n} }

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,6<1-1<0,6<1 alors :lim⁡n→+∞0,6n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 0,6^{n} =0
De plus : lim⁡n→+∞−4n=0\lim\limits_{n\to +\infty } -\frac{4}{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞7+0,6n=7lim⁡n→+∞3−4n=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 7+0,6^{n}} & {=} & {7 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-\frac{4}{n}} & {=} & {3} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡n→+∞7+0,6n3−4n=73\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{7+0,6^{n} }{3-\frac{4}{n} }=\frac{7}{3}