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Suites et récurrence
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lim
n
→
+
∞
a
×
q
n
{\color{blue}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}}}
n
→
+
∞
l
i
m
a
×
q
n
et
lim
n
→
+
∞
a
×
q
n
+
b
{\color{red}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}+b}}
n
→
+
∞
l
i
m
a
×
q
n
+
b
- Exercice 2
12 min
25
Déterminer les limites des suites
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
suivantes :
Question 1
u
n
=
(
−
4
)
×
0
,
8
5
n
+
12
u_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n} +12
u
n
=
(
−
4
)
×
0
,
8
5
n
+
12
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
−
1
<
0
,
85
<
1
-1<0,85<1
−
1
<
0
,
85
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
0
,
85
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,85\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
0
,
85
)
n
=
0
lim
n
→
+
∞
(
−
4
)
×
(
0
,
85
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
−
4
)
×
(
0
,
85
)
n
=
0
lim
n
→
+
∞
(
−
4
)
×
(
0
,
85
)
n
+
12
=
12
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} +12=12
n
→
+
∞
lim
(
−
4
)
×
(
0
,
85
)
n
+
12
=
12
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
12
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =12
n
→
+
∞
lim
u
n
=
12
Question 2
u
n
=
3
×
(
−
2
3
)
n
+
1
u_{n} =3\times \left(-\frac{2}{3} \right)^{n} +1
u
n
=
3
×
(
−
3
2
)
n
+
1
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
−
1
<
−
2
3
<
1
-1<-\frac{2}{3}<1
−
1
<
−
3
2
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
−
2
3
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{2}{3}\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
−
3
2
)
n
=
0
lim
n
→
+
∞
3
×
(
−
2
3
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(-\frac{2}{3}\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
3
×
(
−
3
2
)
n
=
0
lim
n
→
+
∞
3
×
(
−
2
3
)
n
+
1
=
1
\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(-\frac{2}{3}\right)^{n} +1=1
n
→
+
∞
lim
3
×
(
−
3
2
)
n
+
1
=
1
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
1
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1
n
→
+
∞
lim
u
n
=
1
Question 3
u
n
=
2
×
(
5
4
)
n
−
6
u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n} -6
u
n
=
2
×
(
4
5
)
n
−
6
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
5
4
>
1
\frac{5}{4} >1
4
5
>
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
5
4
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
4
5
)
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
2
×
(
5
4
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
2
×
(
4
5
)
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
2
×
(
5
4
)
n
−
6
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{5}{4}\right)^{n} -6=+\infty
n
→
+
∞
lim
2
×
(
4
5
)
n
−
6
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 4
u
n
=
−
3
×
(
3
2
)
n
+
4
u_{n} =-3\times \left(\frac{3}{2} \right)^{n}+4
u
n
=
−
3
×
(
2
3
)
n
+
4
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
3
2
>
1
\frac{3}{2} >1
2
3
>
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
3
2
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{3}{2}\right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
2
3
)
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
−
3
×
(
3
2
)
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n} =-\infty
n
→
+
∞
lim
−
3
×
(
2
3
)
n
=
−
∞
lim
n
→
+
∞
−
3
×
(
3
2
)
n
+
4
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n} +4=-\infty
n
→
+
∞
lim
−
3
×
(
2
3
)
n
+
4
=
−
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞
Question 5
u
n
=
(
2
3
)
n
+
2
(
−
5
7
)
n
+
1
u_{n} =\frac{\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +2}{\left(-\frac{5}{7} \right)^{n} +1}
u
n
=
(
−
7
5
)
n
+
1
(
3
2
)
n
+
2
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
−
1
<
2
3
<
1
-1<\frac{2}{3}<1
−
1
<
3
2
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
2
3
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
3
2
)
n
=
0
Comme
−
1
<
−
5
7
<
1
-1<-\frac{5}{7}<1
−
1
<
−
7
5
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
−
5
7
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{7}\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
−
7
5
)
n
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
(
2
3
)
n
+
2
=
2
lim
n
→
+
∞
(
−
5
7
)
n
+
1
=
1
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n}+2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{7}\right)^{n}+1} & {=} & {1} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
(
3
2
)
n
+
2
n
→
+
∞
lim
(
−
7
5
)
n
+
1
=
=
2
1
}
par quotient
lim
n
→
+
∞
(
2
3
)
n
+
2
(
−
5
7
)
n
+
1
=
2
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +2}{\left(-\frac{5}{7} \right)^{n} +1} = 2
n
→
+
∞
lim
(
−
7
5
)
n
+
1
(
3
2
)
n
+
2
=
2
Question 6
u
n
=
2
−
(
1
3
)
n
n
2
+
1
u_{n} =\frac{2-\left(\frac{1}{3} \right)^{n} }{n^{2} +1}
u
n
=
n
2
+
1
2
−
(
3
1
)
n
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
−
1
<
1
3
<
1
-1<\frac{1}{3}<1
−
1
<
3
1
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
1
3
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{3}\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
3
1
)
n
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
2
−
(
1
3
)
n
=
2
lim
n
→
+
∞
n
2
+
1
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+1} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
2
−
(
3
1
)
n
n
→
+
∞
lim
n
2
+
1
=
=
2
+
∞
}
par quotient
lim
n
→
+
∞
2
−
(
1
3
)
n
n
2
+
1
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2-\left(\frac{1}{3} \right)^{n} }{n^{2} +1} = 0
n
→
+
∞
lim
n
2
+
1
2
−
(
3
1
)
n
=
0